زونوهدرون

زونوهدرون (بالإنجليزية: Zonohedron)‏ هو عديد أبعاد محدب متماثل مركزيًا، كل وجه منه عبارة عن مضلع متماثل مركزيًا. يمكن وصف أي زونوهدرون بشكل مكافئ وفقاً لمجموع مينكوفسكي علي إنه مجموعة من مقاطع الخط في الفضاء ثلاثي الأبعاد، أو كإسقاط ثلاثي الأبعاد لمكعب مفرط. تم تحديد ودراسة منطقة الزونوهدرون في الأصل بواسطة عالم البلورات الروسي يفغراف فيودوروف بشكل أكثر عمومية، في أي بُعد، يشكل مجموع مينكوفسكي لأجزاء الخط نطاقًا متعدد الأطوار يُعرف باسم زونوتوب.[1]

الترتيبعدل

 
الزونوتوب هو مجموع مينكوفسكي لمقاطع الخط.

خريطة غاوس لأي وجه متعدد السطوح محدب ترسم كل وجه من وجه المضلع إلى نقطة على كرة الوحدة، وترسم خرائط لكل حافة من المضلع تفصل بين زوج من الوجوه لقوس دائرة كبير يربط بين النقطتين المتناظرتين. في حالة الزونوهدرون، يمكن تجميع الحواف المحيطة بكل وجه في أزواج من الحواف المتوازية، وعند ترجمتها عبر خريطة غاوس، يصبح أي زوج من هذا القبيل زوجًا من المقاطع المتجاورة على نفس الدائرة الكبيرة. وبالتالي، يمكن تجميع حواف الزونوهدرون في مناطق ذات حواف متوازية، والتي تتوافق مع مقاطع دائرة كبيرة مشتركة على خريطة غاوس، ويمكن رؤية تركيب الزونوهدرون على أنه رسم بياني مزدوج مستوٍ لترتيب من الدوائر الكبرى على الكرة. على العكس من ذلك، يمكن تشكيل أي ترتيب لدوائر كبيرة من خريطة غاوس لنطاق الزونوهدرون الناتج عن ناقلات عمودية على مستويات من خلال الدوائر.

أي زونوهدرون بسيط يتوافق بهذه الطريقة مع ترتيب بسيط، حيث يكون كل وجه على شكل مثلث. تتوافق الترتيبات البسيطة للدوائر الكبرى عبر الإسقاط المركزي مع الترتيبات البسيطة للخطوط في مستوى الإسقاط. هناك ثلاث عائلات لا نهائية معروفة من الترتيبات البسيطة، تؤدي إحداها إلى المناشير عند تحويلها إلى مناطق الزونوهدرونات، والعائلتان الأخريان تتوافقان مع عائلات لا نهائية إضافية من الزونوهدرونات البسيطة. هناك أيضًا العديد من الأمثلة المتفرقة التي لا تتناسب مع هذه العائلات الثلاث.[2]

الأنواععدل

أي منشور فوق مضلع منتظم مع عدد زوجي من الأضلاع يشكل زونوهدرون. يمكن تشكيل هذه المناشير بحيث تكون كل الوجوه منتظمة: وجهان متعاكسان متساويان مع المضلع المنتظم الذي تشكل منه المنشور، وهما متصلان بسلسلة من الوجوه المربعة. الزونوهدرون من هذا النوع هو المكعب، المنشور السداسي، المنشور الثماني، المنشور العشاري، المنشور ثنائي الأضلاع، إلخ.

بالإضافة إلى هذه العائلة اللانهائية من الزونوهدرونات، هناك ثلاث مجسمات أرخميدية، كلها أشكال شاملة للأشكال العادية:

  • المجسم الثماني المقطوع، ذو 6 أوجه مربعة و 8 أوجه سداسية. (متعدد الأسطح رباعي النيتروجين)
  • المجسم المكعب المقطوع، مع 12 مربعًا، و 8 أشكال سداسية، و 6 مثمنات. (مكعب متعدد النترات)
  • المجسم العشري المجسم المقطوع، مع 30 مربعًا و 20 سداسيًا و 12 عشريًا. (ثنائي الوجوه متعدد النيتروجين)

بالإضافة إلى ذلك، بعض المواد الصلبة الكاتالونية (ثنائيات المواد الصلبة الأرميدية) تعد من الزونوهدرون مثل :

  • ثنائى الوجوه المعينية لكبلر هو ثنائي المكعب السطوح.
  • ثلاثي السطوح المعيني هو ثنائي المجسم العشري.

أشكال أخري بوجوه معينية متطابقة:

  • ثنائية الوجوه المعينية لبيلينسكي.
  • عشري الوجوه المعينية.
  • المعين الهندسي.

هناك عدد لانهائي من المناطق ذات الوجوه المعينية التي لا تتوافق جميعها مع بعضها البعض. مثل:

  • السطوح المعينية

مراجععدل

  1. ^ "Zonohedra and Zonotopes"، www.ics.uci.edu، مؤرشف من الأصل في 6 مايو 2021، اطلع عليه بتاريخ 20 نوفمبر 2021.
  2. ^ Grünbaum, Branko (15 يناير 2009)، "A catalogue of simplicial arrangements in the real projective plane"، ARS MATHEMATICA CONTEMPORANEA (باللغة الإنجليزية)، 2 (1): 1–25، doi:10.26493/1855-3974.88.e12، ISSN 1855-3974، مؤرشف من الأصل في 6 أغسطس 2016.