معادلة xʸ=yˣ

عموما، المعادلات الأسية عمليات غير تبادلية. ولكن تعتبر معادلة xʸ=yˣ حالة خاصة، عندما تكون .[1]

التاريخعدل

تم ذكر معادلة   لأول مرة في رسالة دانييل برنولي إلى كريستيان غولدباخ يوم 29 يونيو 1728[2].ذكر فيها أن   إلا في حالة   و  ، على الرغم من أن هناك العديد من الحلول غير المتناهية[3][4] .
جاء الرد من كريستيان غولدباخ في 31 يناير 1729، ذكر فيها الصيغة العامة لحل هذه المعادلة:[5]

 

وهي صيغة مشابهه لما ذكره ليونهارت أويلر.

أشار فان هينجيل (J. van Hengel) أنه إذا كان   أعداد صحيحة موجبة. بحيث تكون   أو  . يكون
 

وهذا كافي لاعتبار   و   في محاولة لإيجاد حل المعادلة.[6]

تم ذكر المشكلة في العديد من الأوراق البحثية والمنشورات. ففي عام 1960 تم ذكر المعادلة في منافسة ويل وليام بوتنام الرياضية.[7][8]

حلول حقيقة موجبةعدل

يوجد العديد من الحلول إذا كانت المعادلة بالشكل التالي:

 

ولكن لحل معادلة  ، يجب اعتبار أن  . وأن  .

وبذلك يكون

 .

بأخذ   أسا لكا الطرفين، ثم القسمة على  

 .

يكون حل المعادلة على الشكل التالي :

 ,
 .

بأخذ   أو  ، يكون الحل الصحيح الموجب للمعادلة هو:

 .

انظر أيضاعدل

المصادرعدل