معادلة الحرارة

معادلة الحرارة أو معادلة الانتشارية أو معادلة توصيل الحرارة (بالإنجليزية: Heat equation)‏ هي معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية تصف التوصيل الحراري وتغير الحرارة في الأجسام.[1][2][3] جاء بها لأول مرة عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف فورييه في عام 1807، بعد تجارب قام حول انتشار الحرارة وبعد نمذجة تطور درجة الحرارة بمتسلسلات مثلثية، سميت منذ حينها متسلسلات فورييه.

نمذجة ثنائية الأبعاد لمعادلة الحرارة في أنبوب ساخن يجري تبريده.

قبل أن يتقدم القارئ للمعادلة عليه أن يدرك المعنى الفيزيائي للحرارة ويفرق بينها وبين درجة الحرارة. والمثال المألوف في هذا السياق هو أن الحرارة المختزنة في حوض استحمام مملوء بالماء الدافئ أكبر من الحرارة المختزنة في كوب من الماء المغلي رغم أن درجة الحرارة في الكوب أعلى بكثير من درجة حرارة الماء في الحوض. ولهذه المعادلة استعمالات في عدة مجالات من صناعة المحركات مرورا بعلم الأحياء حيث تعرف بمعادلة الانتشارية وحتى الميكانيكا الإنشائية.

هي مرتبطة بكل من معادلة بورغر ومعادلة شرودنغر.


الصياغة الرياضيةعدل

المعادلة في بعد واحدعدل

معادلة الحرارة في بعد واحد (x) هي أبسط صيغ المعادلة وتصف معدل تغير الحرارة في قضيب نحيف وطويل لدرجة يمكن حينها غض الطرف عن انتقال الحرارة في بقية الأبعاد نتيجة ضآلة تأثيرها. وتعطى المعادلة بحسب الصيغة التالية وهي مشتقة من قانون فورييه وقانون حفظ الطاقة.

 

حيث :  تمثل الانتشارية الحرارية.

المعادلة في ثلاثة أبعادعدل

في وسط متجانسعدل

في وسط متجانس ثلاثي الأبعاد، فإن معادلة الحرارة للدالة :  تصاغ حسب الآتي:

 

حيث   رمز مؤثر لابلاس و  رمز الانتشارية الحرارية للوسط.

في وسط لا متجانسعدل

أما إذا كان الوسط لا متجانسا مثل جسم الإنسان حيث تختلف الخواص الحرارية للجلد عن الخواص الحرارية في العضلات عنها في الأحشاء عنها في الدم عنها في السوائل الموجودة في الجسم. فإن المعادلة تأخذ الصيغة التالية.

 

حيث :  دالة معطاة. وحين تكون مشتقة الدالة   بالنسبة للزمن الصفر حيث   فإن المعادلة تأخذ شكل معادلة بواسون.

الانتشارية الحراريةعدل

والانتشارية الحرارية تعطى بالصيغة التالية

 
حيث :

  : ثابت التوصيل الحراري (حسب نظام الوحدات الدولي وحدة : واط / (متر.كلفن))

  : الكثافة (كجم/ مترمكعب)

  : سعة الحرارة النوعية (جول / (كغم.كلفن))

حلحلة معادلة الحرارة باستعمال متسلسلة فورييهعدل

من بين أوائل الطرق المستعملة من أجل حلحلة معادلة الحرارة، طريقة اقترحها عالم الرياضيات والفيزياء الفرنسي جوزيف فورييه ذاته. كان ذلك عام 1822.

مراجععدل

  1. ^ Méthodes probabilistes pour les équations de la physique (باللغة الفرنسية)، Eyrolles، 1989، ISBN 978-2212056761. {{استشهاد بكتاب}}: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: |month= (مساعدة)
  2. ^ Mathworld: Porous Medium Equationand the other related models have solutions with finite wave propagation speed. نسخة محفوظة 01 مايو 2017 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ Intégrale de chemin en mécanique quantique : introduction، EDP Sciences، 2003، ISBN 978-2-86883660-1. {{استشهاد بكتاب}}: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: |month= (مساعدة)