معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود

في الرياضيات، يمكن اعتبار متتالية متعددات حدود $\{p_{n}(z)\}$ نوعا من معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود إذا كانت الدالة المولدة كثيرة الحدود بالشكل التالي:

$K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$

حيث تكوين دالة التكوين أو كيرنيل $K(z,w)$ مكونه من السلسلة التالية:

$A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad$ with $a_{0}\neq 0$

و

$\Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad$ and all $\Psi _{n}\neq 0$

و

$g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad$ with $g_{1}\neq 0.$

وفقا للمعادلات السابقة، ليس من الصعب استنتاج $p_{n}(z)$ معادلة كثيرة الحدود من الدرجة $n$.

تعتبر متعددة الحدود بواس- باك فئة عامة أكثر قليلاً من كثيرات الحدود.

حالات خاصة

• إذا كان $g(w)=w$ تصبح المعادلة هي معادلة برنكي متعددة الحدود.
• إذا كان $\Psi (t)=e^{t}$ تصبح معادلة هي معادلة نيوتن متعددة الحدود.
• إذا كان $g(w)=w$ و $\Psi (t)=e^{t}$ تصبح المعادلة هي معادلة أبيل متعددة الحدود.

التمثيل الصريح

يمكن تمثيل معادلة أبيل كثيرة الحدود بالمعادلة التالية:

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.$

حيث:

$h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}$

بما أن:

$j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,$

إذا:

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.$

انظر أيضا

• متتالية متعددات حدود
• دالة مولدة

وصلات خارجية

• معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود.
• شرح معادلة أبيل العامة لكثيرات الحدود- أكاديمية خان