متطابقة فاندرموند

في التوافقيات، متطابقة فانديرموند (بالإنجليزية: Vandermonde's identity)‏ هي المتطابقة التالية للمعاملات الثنائية:

${m+n \choose r}=\sum _{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}$ حيث r و m و n أعداد صحيحة.

سميت هذه المتطابقة هكذا نسبة إلى ألكسندر ثيوفيل فانديرموند (1772)، رغم أنها كانت معروفة من قبل منذ 1303 لدى الرياضياتي الصيني زو شيجيه (شو شي-شييه).

براهين

جبري

بشكل عام، يعطى جداء متعددتي حدود درجتاهما "m" و "n" ، على التوالي، ب

${\biggl (}\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}{\biggr )}=\sum _{r=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k=0}^{r}a_{k}b_{r-k}{\biggr )}x^{r},$

من خلال النظرية الحدانية

$.(1+x)^{m+n}=\sum _{k=0}^{m+n}{m+n \choose k}{x^{k}}$

باستخدام النظرية الحدانية أيضا ل m و n، ثم المعادلة أعلاه لجداء حدوديتين، نحصل على:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m+n}{m+n \choose k}x^{k}&=(1+x)^{m+n}\\&=(1+x)^{m}(1+x)^{n}\\&={\biggl (}\sum _{i=0}^{m}{m \choose i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}x^{j}{\biggr )}\\&=\sum _{k=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{r=0}^{k}{m \choose r}{n \choose k-r}{\biggr )}x^{k},\end{aligned}}$

من خلال مقارنة معاملات x^k نجد أن

$.\sum _{r=0}^{k}{m \choose r}{n \choose k-r}={m+n \choose k}$

مثال استعمال

أثبت أن

$.\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}^{2}={2n \choose n}$

البرهان

المجموع أعلاه هو حالة خاصة من متطابقة فانديرموند عند $.m=k=n$

هكذا نحصل على

$.\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}{n \choose n-r}={n+n \choose n}$

إذن، حسب المتطابقة ${n \choose r}={n \choose n-r}$، يكون

$.\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}^{2}={2n \choose n}$

متطابقة شو-فانديرموند

متطابقة شو-فانديرموند باسم فانديرموند والرياضياتي الصيني زو شيجيه (حوالي 1260 - حوالي 1320) تعمم متطابقة فانديرموند لقيم غير صحيحة (باستعمال التعريف المعمم للمعاملات الثنائية، ${z \choose k}={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}}$):

$,{s+t \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{s \choose k}{t \choose n-k}$

مراجع

https://brilliant.org/wiki/vandermondes-identity/

Askey، Richard (1975)، متعددة حدود متعامدة and دوال خاصةs، Regional Conference Series in Applied Mathematics، Philadelphia, PA: SIAM، ج. 21، ص. viii+110.