متطابقة فاندرموند

في التوافقيات، متطابقة فانديرموند (بالإنجليزية: Vandermonde's identity)‏ هي المتطابقة التالية للمعاملات الثنائية:

RezMath2.jpg

حيث r و m و n أعداد صحيحة.[1]

سميت هذه المتطابقة هكذا نسبة إلى ألكسندر ثيوفيل فانديرموند (1772)، رغم أنها كانت معروفة من قبل منذ 1303 لدى الرياضياتي الصيني زو شيجيه (شو شي-شييه).

براهينعدل

جبريعدل

بشكل عام، يعطى جداء متعددتي حدود درجتاهما "m" و "n" ، على التوالي، ب

 

من خلال النظرية الحدانية

 

باستخدام النظرية الحدانية أيضا ل m و n، ثم المعادلة أعلاه لجداء حدوديتين، نحصل على:

 

من خلال مقارنة معاملات xk نجد أن

 

تقابليعدل

احتماليعدل

مثال استعمالعدل

أثبت أن

 


البرهان

المجموع أعلاه هو حالة خاصة من متطابقة فانديرموند عند  

هكذا نحصل على

 

إذن، حسب المتطابقة  ، يكون

 

متطابقة شو-فانديرموندعدل

متطابقة شو-فانديرموند باسم فانديرموند والرياضياتي الصيني زو شيجيه (حوالي 1260 - حوالي 1320) تعمم متطابقة فانديرموند لقيم غير صحيحة (باستعمال التعريف المعمم للمعاملات الثنائية،  ):

 

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن متطابقة فاندرموند على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 11 أغسطس 2018.

https://brilliant.org/wiki/vandermondes-identity/

Askey, Richard (1975)، متعددة حدود متعامدة and دوال خاصةs، Regional Conference Series in Applied Mathematics، Philadelphia, PA: SIAM، ج. 21، ص. viii+110.