متطابقة بيزو

صيغة تربط عددين وقاسمهم المشترك الأكبر

متطابقة بيزو (بالإنجليزية: Bézout's identity)‏ هي مبرهنة في نظرية الأعداد الابتدائية.[1][2][3] ليكن a و b عددين صحيحين وليكن d قاسمهما المشترك الأكبر، إذن يوجد عددان صحيحان x و y يحققان الصيغة التالية:

متطابقة بيزو
النوع مبرهنة  تعديل قيمة خاصية (P31) في ويكي بيانات
الصيغة
  تعديل قيمة خاصية (P2534) في ويكي بيانات
سميت باسم إيتيين بوزو،  وكلود غاسبارد باشي دي ميزيرياك  تعديل قيمة خاصية (P138) في ويكي بيانات

x و y يسميان معاملا بوزو بالنسبة ل a و b.

سميت هاته المتطابقة وهذه المعاملات هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي إيتيان بيزو.

وخلال قيامه بأبحاث حول قابلية القسمة بالنسبة للحدوديات أعطى برهانا للمبرهنة التي تحمل اسمه وهي كالتالي:

التاريخ

عدل

أول برهان معروف لهذه المتطابقة يرجع لكلود غاسبارد باشي دي ميزيرياك. وقد ورد في الطبعة الثانية لكتابه Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres الذي طبع سنة 1624.

في القرن 18، عمم إيتيين بوزو هذه النتيجة، وبخاصة على الحدوديات.

عدم وحدانية الحلول

عدل

انطلاقا من حل خاص (m, n)، من السهل إيجاد كل الحلول الأخرى:

 

حيث k متغير في Z.

مبرهنة بيزو (Bézout)

عدل

a وb عددان صحيحان غير منعدمين، لدينا:

 .

  • مثال

ليكن العددان الصحيحان   و 

باختيار   و   لدينا   ومنه العددان 7 و9 أوليان فيما بينهما.

تعميمات

عدل

يمكن تعميم متطابقة بوزو لأكثر من عنصرين: إذا كان

 

فإن هناك أعداداً صحيحة نسبية   بحيث:

 .

بتعبير آخر:   هو أصغر عدد صحيح موجب يكتب كتأليفة خطية للأعداد   بمعاملات صحيحة.

البرهان

عدل

انظر أيضا

عدل

مراجع

عدل
  1. ^ Tignol، Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN:981-02-4541-6.
  2. ^ Maarten Bullynck (فبراير 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica. ج. 36 ع. 1: 48–72. DOI:10.1016/j.hm.2008.08.009. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-05-11.
  3. ^ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres. مؤرشف من الأصل في 2019-12-17.

https://fr.wikiversity.org/wiki/Arithm%C3%A9tique/Th%C3%A9or%C3%A8mes_de_B%C3%A9zout_et_Gauss

وصلات خارجية

عدل