في الرياضيات ، تصف مبرهنة متعدد الحدود كيفية توسيع قوة لمجموع بدلالة قوى المصطلحات في ذلك المجموع. إنه تعميم مبرهنة ذات الحدين من ذات الحدين إلى متعددات الحدود.
المبرهنة
عدل
لأي عدد صحيح موجب
n
{\displaystyle n}
وأي عدد صحيح غير سالب
m
{\displaystyle m}
، تصف الصيغة متعددة الحدود كيف يتوسع مجموع بحدود
m
{\displaystyle m}
عند رفعه إلى قوة عشوائية
n
{\displaystyle n}
:
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
;
k
1
,
k
2
,
⋯
,
k
m
≥
0
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
∏
t
=
1
m
x
t
k
t
,
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n;\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\geq 0}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{t=1}^{m}x_{t}^{k_{t}}\,,}
أين
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
!
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}
هو معامل متعدد الحدود . يتم أخذ المجموع على جميع مجموعات مؤشرات الأعداد الصحيحة غير السالبة
k
1
{\displaystyle k_{1}}
إلى
k
m
{\displaystyle k_{m}}
بحيث يكون مجموع كل
k
i
{\displaystyle k_{i}}
هو
n
{\displaystyle n}
. أي أنه لكل حد في المفكوك ، يجب جمع أس
i
{\displaystyle i}
حتى n . أيضًا ، كما هو الحال مع مبرهنة ذات الحدين ، فإن الكميات التي تظهر على شكل
x
0
{\displaystyle x^{0}}
تؤخذ على أنها تساوي
1
{\displaystyle 1}
(حتى عندما تكون x تساوي صفرًا).
في الحالة
m
=
2
{\displaystyle m=2}
، تختصر هذه العبارة إلى تلك الخاصة بمبرهنة ذات الحدين.
القوة الثالثة من ثلاثي الحدود
a
+
b
+
c
{\displaystyle a+b+c}
معطاة من قبل
(
a
+
b
+
c
)
3
=
a
3
+
b
3
+
c
3
+
3
a
2
b
+
3
a
2
c
+
3
b
2
a
+
3
b
2
c
+
3
c
2
a
+
3
c
2
b
+
6
a
b
c
.
{\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}
يمكن حساب ذلك يدويًا باستخدام خاصية التوزيع للضرب على الجمع ، ولكن يمكن أيضًا إجراؤه (ربما بسهولة أكبر) باستخدام مبرهنة متعددة الحدود. من الممكن «قراءة» المعاملات متعددة الحدود من المصطلحات باستخدام صيغة المعامل متعدد الحدود. فمثلا:
a
2
b
0
c
1
{\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}}
المعامل
(
3
2
,
0
,
1
)
=
3
!
2
!
⋅
0
!
⋅
1
!
=
6
2
⋅
1
⋅
1
=
3.
{\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.}
a
1
b
1
c
1
{\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}}
المعامل
(
3
1
,
1
,
1
)
=
3
!
1
!
⋅
1
!
⋅
1
!
=
6
1
⋅
1
⋅
1
=
6.
{\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.}
تعبير بديل
عدل
يمكن كتابة بيان المبرهنة بإيجاز باستخدام مؤشرات متعددة:
(
x
1
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
|
α
|
=
n
(
n
α
)
x
α
{\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}
أين
α
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
m
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})}
و
x
α
=
x
1
α
1
x
2
α
2
⋯
x
m
α
m
{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}}
دليل - إثبات
عدل
يستخدم هذا الدليل على مبرهنة متعددة الحدود مبرهنة ذات الحدين والاستقراء على
m
{\displaystyle m}
.
أولاً ، بالنسبة لـ
m
=
1
{\displaystyle m=1}
، كلا الطرفين يساوي
x
1
n
{\displaystyle x_{1}^{n}}
نظرًا لوجود حد واحد فقط
n
=
k
1
{\displaystyle n=k_{1}}
في المجموع. لخطوة الاستقراء ، افترض أن المبرهنة متعددة الحدود تنطبق على
m
{\displaystyle m}
. ثم
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
+
x
m
+
1
)
n
=
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
(
x
m
+
x
m
+
1
)
)
n
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
K
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
(
x
m
+
x
m
+
1
)
K
{\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}}
من خلال فرضية الاستقراء. تطبيق مبرهنة ذات الحدين على العامل الأخير ،
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
K
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
∑
k
m
+
k
m
+
1
=
K
(
K
k
m
,
k
m
+
1
)
x
m
k
m
x
m
+
1
k
m
+
1
{\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
k
m
+
k
m
+
1
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
k
m
,
k
m
+
1
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
x
m
k
m
x
m
+
1
k
m
+
1
{\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}
الذي يكمل الاستقراء. الخطوة الأخيرة تتبع لأن
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
(
K
k
m
,
k
m
+
1
)
=
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
k
m
,
k
m
+
1
)
,
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}
كما يمكن رؤيته بسهولة عن طريق كتابة المعاملات الثلاثة باستخدام العوامل على النحو التالي:
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
−
1
!
K
!
K
!
k
m
!
k
m
+
1
!
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
+
1
!
.
{\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}
معاملات متعددة الحدود
عدل
الارقام
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}
تظهر في المبرهنة المعاملات متعددة الحدود . يمكن التعبير عنها بعدة طرق ، بما في ذلك كنتيجة لمعاملات ذات الحدين أو عاملي :
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
!
=
(
k
1
k
1
)
(
k
1
+
k
2
k
2
)
⋯
(
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
k
m
)
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}}
مجموع كل المعاملات متعددة الحدود
عدل
التعويض عن
x
i
=
1
{\displaystyle x_{i}=1}
لجميع
i
{\displaystyle i}
في مبرهنة متعددة الحدود
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
k
m
=
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
{\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}}
يعطي ذلك على الفور
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
m
n
.
{\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.}
عدد المعاملات متعددة الحدود
عدل
عدد الحدود في مجموع متعدد الحدود ،
#
n
,
m
{\displaystyle \#_{n,m}}
يساوي عدد المونومرات من الدرجة
n
{\displaystyle n}
على المتغيرات
x
1
,
⋯
,
x
m
{\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{m}}
:
#
n
,
m
=
(
n
+
m
−
1
m
−
1
)
.
{\displaystyle \#_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.}
يمكن إجراء العد بسهولة باستخدام طريقة النجوم والأشرطة .
تقييم المعاملات متعددة الحدود
عدل
أكبر قوة عدد أولي
p
{\displaystyle p}
يمكن حساب المعامل متعدد الحدود باستخدام تعميم مبرهنة كومر [الإنجليزية] .
التفسيرات
عدل
طرق لوضع الأشياء في صناديق
عدل
المعاملات متعددة الحدود لها تفسير اندماجي مباشر ، مثل عدد طرق إيداع
n
{\displaystyle n}
كائنات مميزة في
m
{\displaystyle m}
صناديق مميزة ، مع
k
1
{\displaystyle k_{1}}
كائنات في الحاوية الأولى، و
k
2
{\displaystyle k_{2}}
كائنات في الحاوية الثانية ، وهكذا. [1]
عدد طرق التحديد وفقًا للتوزيع
عدل
في الميكانيكا الإحصائية والتوافقيات ، إذا كان لدى المرء توزيع رقمي للتسميات ، فإن المعاملات متعددة الحدود تنشأ بشكل طبيعي من المعاملات ذات الحدين. بالنظر إلى توزيع الأرقام
n
i
{\displaystyle n_{i}}
على مجموعة من العناصر الإجمالية
N
{\displaystyle N}
، يمثل
n
i
{\displaystyle n_{i}}
عدد العناصر التي سيتم منحها التصنيف
i
{\displaystyle i}
. (في الميكانيكا الإحصائية ،
i
{\displaystyle i}
تسمية حالة الطاقة.)
اختيار
n
1
{\displaystyle n_{1}}
من إجمالي
N
{\displaystyle N}
ليتم تسميتها
1
{\displaystyle 1}
. يمكن القيام بذلك
(
N
n
1
)
{\displaystyle N \choose n_{1}}
طرق.
من المتبقي
N
−
n
1
{\displaystyle N-n_{1}}
عنصر اختر
n
2
{\displaystyle n_{2}}
للتسمية
2
{\displaystyle 2}
. يمكن القيام بذلك
(
N
−
n
1
n
2
)
{\displaystyle N-n_{1} \choose n_{2}}
طرق.
من المتبقي
N
−
n
1
−
n
2
{\displaystyle N-n_{1}-n_{2}}
عناصر اختر
n
3
{\displaystyle n_{3}}
للتسمية
3
{\displaystyle 3}
. مرة أخرى ، يمكن القيام بذلك
(
N
−
n
1
−
n
2
n
3
)
{\displaystyle N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}
طرق.
يؤدي ضرب عدد الاختيارات في كل خطوة إلى:
(
N
n
1
)
(
N
−
n
1
n
2
)
(
N
−
n
1
−
n
2
n
3
)
⋯
=
N
!
(
N
−
n
1
)
!
n
1
!
⋅
(
N
−
n
1
)
!
(
N
−
n
1
−
n
2
)
!
n
2
!
⋅
(
N
−
n
1
−
n
2
)
!
(
N
−
n
1
−
n
2
−
n
3
)
!
n
3
!
⋯
.
{\displaystyle {N \choose n_{1}}{N-n_{1} \choose n_{2}}{N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2})!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3})!n_{3}!}}\cdots .}
ينتج عن الإلغاء الصيغة المذكورة أعلاه.
عدد التبديلات الفريدة للكلمات
عدل
المعامل متعدد الحدود كمنتج للمعاملات ذات الحدين ، مع احتساب التباديل لأحرف ميسيسيبي.
المعامل متعدد الحدود
(
n
k
1
,
…
,
k
m
)
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}}
هو أيضًا عدد الطرق المميزة لتبديل مجموعة متعددة من العناصر
n
{\displaystyle n}
، حيث
k
i
{\displaystyle k_{i}}
هو تعدد كل عنصر من العناصر i . على سبيل المثال ، عدد التباديل المميز لأحرف الكلمة MISSISSIPPI ، التي تحتوي على 1 M و 4 Is و 4 Ss و 2 Ps ، هو
(
11
1
,
4
,
4
,
2
)
=
11
!
1
!
4
!
4
!
2
!
=
34650.
{\displaystyle {11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.}
مثلث باسكال المعمم
عدل
يمكن للمرء استخدام نظرية متعددة الحدود لتعميم مثلث باسكال أو هرم باسكال على البسيط لباسكال . يوفر هذا طريقة سريعة لإنشاء جدول بحث للمعاملات متعددة الحدود.
المراجع
عدل