انظر إلى متوسط هندسي .
عدل
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
عدل
إذا وجد عددان بحيث
a
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle a=x^{2}+y^{2}}
a
=
x
2
+
y
2
=
x
+
y
2
x
y
+
1
2
x
y
+
1
2
x
y
+
1
2
x
y
+
.
.
.
{\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=x+{\frac {y}{{\frac {2x}{y}}+{\frac {1}{{\frac {2x}{y}}+{\frac {1}{{\frac {2x}{y}}+{\frac {1}{{\frac {2x}{y}}+...}}}}}}}}}
Graph charting the use of the Babylonian method for approximating the square root of 100 (10) using starting values x 0 = 50x 0 = 1x 0 = −5 انظر إلى هيرو السكندري وإلى طريقة نيوتن .
أولا : نختار قيمة للعدد
x
0
{\displaystyle x_{0}\,}
x
0
2
≈
S
{\displaystyle {x_{0}}^{2}\approx {S}\,}
ثانيا : نحسب الأعداد
x
1
,
x
2
.
.
.
.
.
.
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2}......x_{n}}
للمتتالية
x
n
+
1
=
x
n
+
S
x
n
2
{\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}}{2}}}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
n
≈
x
n
+
1
{\displaystyle x_{n}\approx x_{n+1}}
لحساب
S
{\displaystyle {\sqrt {S}}}
S = 125348,
x
0
=
6
⋅
10
2
=
600.000.
{\displaystyle x_{0}=6\cdot 10^{2}=600.000.\,}
x
1
=
1
2
(
x
0
+
S
x
0
)
=
1
2
(
600.000
+
125348
600.000
)
=
404.457.
{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(600.000+{\frac {125348}{600.000}}\right)=404.457.}
x
2
=
1
2
(
x
1
+
S
x
1
)
=
1
2
(
404.457
+
125348
404.457
)
=
357.187.
{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(404.457+{\frac {125348}{404.457}}\right)=357.187.}
x
3
=
1
2
(
x
2
+
S
x
2
)
=
1
2
(
357.187
+
125348
357.187
)
=
354.059.
{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(357.187+{\frac {125348}{357.187}}\right)=354.059.}
x
4
=
1
2
(
x
3
+
S
x
3
)
=
1
2
(
354.059
+
125348
354.059
)
=
354.045.
{\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.059+{\frac {125348}{354.059}}\right)=354.045.}
x
5
=
1
2
(
x
4
+
S
x
4
)
=
1
2
(
354.045
+
125348
354.045
)
=
354.045.
{\displaystyle x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045.}
هكذا,
125348
≈
354.045
.
{\displaystyle {\sqrt {125348}}\approx 354.045\,.}
لحساب
S
{\displaystyle {\sqrt {S}}}
S = 27,
x
0
=
25
=
5.
{\displaystyle x_{0}={\sqrt {25}}=5.\,}
x
1
=
1
2
(
x
0
+
S
x
0
)
=
1
2
(
5
+
27
5
)
=
5.2.
{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(5+{\frac {27}{5}}\right)=5.2.}
x
2
=
1
2
(
x
1
+
S
x
1
)
=
1
2
(
5.2
+
27
5.2
)
=
5.196.
{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(5.2+{\frac {27}{5.2}}\right)=5.196.}
x
3
=
1
2
(
x
2
+
S
x
2
)
=
1
2
(
5.196
+
27
5.196
)
=
5.196.
{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(5.196+{\frac {27}{5.196}}\right)=5.196.}
هكذا,
27
≈
5.196
.
{\displaystyle {\sqrt {27}}\approx 5.196\,.}
عدل
تمكن من حساب قيمة تقريبية لجذر مربع عدد ما.
يقسم العدد من اليمين إلى اليسار، إلى زمر من رقمين:مثلا 11878 يصبح 78 18 1.
نبحث عن الجذر القريب للزمرة الأولى أقصى اليسار:هنا 1 والجذر هو 1.
نحسب الباقي الزمرة ناقص مربع العدد:هنا نجد 0.
ننزل الزمرة الموالية إلى جانب الباقي:هنا نحصل على 18 أي 018
نضاعف الجذر الجزئي المحصل عليه حاليا:هنا 2.
نحدف رقم الوحدات للعدد المحصل عليه في 4:نحصل على 1.
نقسم العدد المحصل عليه في 6، على العدد المحصل عليه في 5، والعدد المحصل عليه سيكون هو الرقم الموالي للجذر:هنا 1 على 2 تساوي 0.
نضع الرقم المحصل عليه في 7 على يمين العدد المحصل عليه في 5:هنا نجد 20
نضرب العدد المحصل عليه في 8، في العدد المحصل عليه في 7:هنا نجد 20 في 0 يساوي 0.
نطرح من العدد المحصل عليه في 4، العدد المحصل عليه في 9:هنا نجد 18 وفي حالة الحصول على عدد سالب نطرح واحد من العدد المحصل عليه في 7 ونستأنف العملية.
ننزل الزمرة الموالية إلى جانب الباقي المحصل عليه في 10:هنا نجد 1878
نعيد العمليات انطلاقا من المرحلة 5. 
