دالة المؤشر لكارميكائيل

في نظرية الأعداد، فرعا من الرياضيات، دالة المؤشر لكارميكائيل (بالإنجليزية: Carmichael function)‏، أو اختصارا، دالة كارميكائيل هي دالة λ(n)، مدخلها عدد طبيعي n وقيمتها هي أيضا عدد صحيح طبيعي، وحيث هذه القيمة هي أصغر عدد صحيح طبيعي m يحقق المعادلة التالية:

دالة كارميكائيل λ : λ(n) عندما يتوفر 1 ≤ n ≤ 1000 (مقارنةً مع دالة المؤشر لأويلر φ)

a^m ≡ 1   (mod n)

لكل عدد صحيح a محصور بين الواحد و n، أوليٍ مع n.

سميت هذه الدالة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الأمريكي روبرت دانييل كارميكائيل.

يطرح الجدول التالي القيم الستة والثلاثين لدالتي المؤشر لأويلر من جهة وكارميكائيل من جهة ثانية

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
λ(n)	1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2	20	12	18	6	28	4	30	8	10	16	12	6
φ(n)	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8	30	16	20	16	24	12

أمثلة عددية

• قيمة دالة كارميكائيل مطبقةً على العدد 5 هي 4، أي أن λ(5) = 4، لأنه بالنسبة لكل عدد محصور بين الواحد والخمسة وفي نفس الوقت أولي مع الخمسة، يتوفر ما يلي:
  • $1<a<5$
  • $a\in \{1,2,3,4\}$
  • $a^{m}\equiv 1\,({\text{mod }}5)$
  • $m=4$
  • 1⁴ ≡ 1 (mod 5)
  • 2⁴ = 16 ≡ 1 (mod 5)
  • 3⁴ = 81 ≡ 1 (mod 5)
  • 4⁴ = 256 ≡ 1 (mod 5)

خصائص دالة المؤشر لكارميكائيل

أصغر قيمة

افترض أن a^m ≡ 1 (mod n) بالنسبة لجميع الأعداد a الأولية مع n. إذن λ(n) | m.

البرهان: إذا كان m = kλ(n) + r حيث 0 ≤ r < λ(n), إذن

$a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}\equiv \left(a^{\lambda (n)}\right)^{k}\cdot a^{r}=a^{k\lambda (n)+r}=a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$

بالنسبة لجميع الأعداد a الأولية مع n. يأتي من ذلك r = 0, بما أن r < λ(n) وأن λ(n) هو العدد الدنوي الذي يحقق هذه الخاصية.

الاستعمال في التعمية

دالة المؤشر لكارميكائيل هي مهمة في علم التعمية. سبب ذلك كونها مستعملة في خوارزمية آر إس إيه.

انظر أيضا

• عدد كارميكائيل