إكمال المربع هي عملية لتحويل الدالة التربيعية من الشكل
عرض يبين طريقة إكمال المربع. (Details ، animated GIF version )
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
إلى الشكل
a
(
⋯
⋯
)
2
+
constant
.
{\displaystyle a(\cdots \cdots )^{2}+{\mbox{constant}}.\,}
ومصطلح "constant" يعني أنه قيمة ثابتة ولا يعتمد على x . والجزء داخل القوسين يكون على صورة (x + constant) ، بمعنى أن:
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
تحولت إلى
a
(
x
+
h
)
2
+
k
{\displaystyle a(x+h)^{2}+k\,}
بقيم معينة لكلا من h و k .
استخدامات طريقة إكمال المربع:
ويعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات ، ويتم استخدامها -حتى بدون الإشارة إليها- في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية. كما أن هذه الطريقة تستخدم لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.
يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين
(
x
+
p
)
2
=
x
2
+
2
p
x
+
p
2
.
{\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.\,\!}
مثال:
(
x
+
3
)
2
=
x
2
+
6
x
+
9
(
p
=
3
)
(
x
−
5
)
2
=
x
2
−
10
x
+
25
(
p
=
−
5
)
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}
ففي أي مربع كامل العدد p يكون دائما هو نصف معامل x ، ويكون الحد الثابت هو مربع p أي يساوي p 2 .
مثال بسيط
عدل
في كثيرة الحدود التربيعية التالية:
x
2
+
10
x
+
28.
{\displaystyle x^{2}+10x+28.\,\!}
نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .
(
x
+
5
)
2
=
x
2
+
10
x
+
25.
{\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.\,\!}
بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:
x
2
+
10
x
+
28
=
(
x
+
5
)
2
+
3.
{\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}
وهذا ما يسمى إكمال المربع .
وصف عام
عدل
لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل x يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:
x
2
+
b
x
+
c
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c,\,\!}
يمكن أن نكون 'مربعا كاملا' له نفس الحدين الأولين
(
x
+
1
2
b
)
2
=
x
2
+
b
x
+
1
4
b
2
.
{\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}
وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
+
1
2
b
)
2
+
k
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}
حيث k هو ثابت. وهذه العملية تسمى إكمال المربع . ومثالا لذلك:
x
2
+
6
x
+
11
=
(
x
+
3
)
2
+
2
x
2
+
14
x
+
30
=
(
x
+
7
)
2
−
19
x
2
−
2
x
+
7
=
(
x
−
1
)
2
+
6.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}
غير واحدية المدخل
عدل
لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل x لا يساوي 1) على الصورة:
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
يمكن أن نقوم باتخاذ a معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.
مثال:
3
x
2
+
12
x
+
27
=
3
(
x
2
+
4
x
+
9
)
=
3
(
(
x
+
2
)
2
+
5
)
=
3
(
x
+
2
)
2
+
15
{\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}
ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة
a
(
x
+
h
)
2
+
k
.
{\displaystyle a(x+h)^{2}+k.\,\!}
صيغة عامة
عدل
يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:[1]
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
+
h
)
2
+
k
,
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x+h)^{2}+k,}
حيث:
h
=
b
2
a
and
k
=
c
−
a
h
2
=
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle h={\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
+
h
)
2
+
k
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x+h)^{2}+k,}
حيث:
h
=
b
2
and
k
=
c
−
b
2
4
{\displaystyle h={\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}
وفي حالة المصفوفات (يراعى ترتيب ضرب المصفوفات):
x
T
A
x
+
x
T
b
+
c
=
(
x
−
h
)
T
A
(
x
−
h
)
+
k
{\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k}
حيث:
h
=
−
1
2
A
−
1
b
and
k
=
c
−
1
4
b
T
A
−
1
b
{\displaystyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}
ويجب أن تكون المصفوفة
A
{\displaystyle A}
أما لو كانت المصفوفة
A
{\displaystyle A}
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
h
=
−
(
A
+
A
T
)
−
1
b
{\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}
و
k
=
c
−
h
T
A
h
=
c
−
b
T
(
A
+
A
T
)
−
1
A
(
A
+
A
T
)
−
1
b
{\displaystyle k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}
علاقته بالرسم
عدل
رسم دالة تربيعية مزاحة إلى اليمين بـ h = 0, 5, 10, 15 رسم دالة تربيعية مزاحة لأعلى بـ k = 0, 5, 10, 15. رسم لدالة تربيعية مزاحة لأعلى ولليمين بـ 0, 5, 10, 15 رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى xy .
فالدالة التربيعية على صورة:
(
x
−
h
)
2
+
k
or
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle (x-h)^{2}+k\quad {\text{or}}\quad a(x-h)^{2}+k}
الأرقام h و k تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ. وتمثل h الإحداثي x لمحور التماثل، بينما تمثل k القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت a < 0 ) للدالة التربيعية.
ويمكن القول أن رسم منحنى الدالة التربيعية ƒ (x ) = x 2 هو قطع مكافئ، رأسه عند نقطة الأصل (0, 0).
بينما رسم منحنى الدالة ƒ (x − h ) = (x − h )2 هو قطع مكافئ تمت إزاحته جهة اليمين بالقيمة h ورأسه هي (h , 0) كما هو مبين بالشكل.
ورسم منحنى الدالة ƒ (x ) + k = x 2 + k هو قطع مكافئ تمت إزاحته لأعلى بالقيمة k ، ورأسه هي نقطة
(
0
,
k
)
{\displaystyle (0,k)}
ويمكن جمع الإزاحتين الأفقية (يمين أو يسار) والرأسية (أعلى أو أسفل) فالدالة ƒ (x − h ) + k = (x − h )2 + k
هي قطع مكافئ مزاح لليمين بالقيمة h ، ومزاح لأعلى بالقيمة k ، ورأسه عند النقطة (h , k )، كما هو مبين بالشكل الثالث.
حل المعادلات التربيعية
عدل
تستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، ومثال ذلك:
x
2
+
6
x
+
5
=
0
,
{\displaystyle x^{2}+6x+5=0,\,\!}
الخطوة الأولى هي إكمال المربع:
(
x
+
3
)
2
−
4
=
0.
{\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.\,\!}
ثم نحل الحد المربع:
(
x
+
3
)
2
=
4.
{\displaystyle (x+3)^{2}=4.\,\!}
وبالتالي إما
x
+
3
=
−
2
or
x
+
3
=
2
,
{\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,}
إذن
x
=
−
5
or
x
=
−
1.
{\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}
ويمكن تطبيق ذلك لأي معادلة تربيعية. وعندما يكون معامل x 2 لا يساوي 1 تكون الخطوة الأولى هي قسمة المعادلة على هذا المعامل. انظر المثال التالي:
2
x
2
+
7
x
+
6
=
0
x
2
+
7
2
x
+
3
=
0
(
x
+
7
4
)
2
−
1
16
=
0
(
x
+
7
4
)
2
=
1
16
x
+
7
4
=
1
4
or
x
+
7
4
=
−
1
4
x
=
−
3
2
or
x
=
−
2.
{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}
يمكن استخدام إكمال المربع للحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة.
مثال للجذور غير النسبية:
x
2
−
10
x
+
18
=
0.
{\displaystyle x^{2}-10x+18=0.\,\!}
بإكمال المربع نحصل على
(
x
−
5
)
2
−
7
=
0
,
{\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,\,\!}
وبالتالي
(
x
−
5
)
2
=
7.
{\displaystyle (x-5)^{2}=7.\,\!}
إذن إما
x
−
5
=
−
7
or
x
−
5
=
7
,
{\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}},\,}
إذن
x
=
5
−
7
or
x
=
5
+
7
.
{\displaystyle x=5-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x=5+{\sqrt {7}}.\,}
وعادةً تكتب على الصورة:
x
=
5
±
7
.
{\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.\,}
ومثال للمعادلات ذات الجذور المركبة:
x
2
+
4
x
+
5
=
0
(
x
+
2
)
2
+
1
=
0
(
x
+
2
)
2
=
−
1
x
+
2
=
±
i
x
=
−
2
±
i
.
{\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}
حيث الرمز i يساوي
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}\,}
تطبيقات أخرى
عدل
التكامل
عدل
يمكن استخدام إكمال المربع لحساب التكامل كالتالي:
∫
d
x
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
باستخدام قواعد التكامل
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
1
2
a
ln
|
x
−
a
x
+
a
|
+
C
and
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
1
a
arctan
(
x
a
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}
مثال:
∫
d
x
x
2
+
6
x
+
13
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}
بإكمال المربع للمقام نحصل على:
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
4
=
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
2
2
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}
وبالتالي يمكن إجراء التكامل بالتعويض.
u = x + 3,
الذي يُنتج
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
4
=
1
2
arctan
(
x
+
3
2
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}
العلاقة التالية
|
z
|
2
−
b
∗
z
−
b
z
∗
+
c
,
{\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,\,}
حيث z وb هما عدادان مركبان، و
b
∗
,
z
∗
,
{\displaystyle b^{*},z^{*},}
العددان المرافقان لهما على الترتيب، و c هو عدد حقيقي .
باستخدام القاعدة
|
u
|
2
=
u
u
∗
,
{\displaystyle |u|^{2}=uu^{*},}
يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة
|
z
−
b
|
2
−
|
b
|
2
+
c
,
{\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,\!}
والتي يتضح أنها كمية حقيقة
|
z
−
b
|
2
=
(
z
−
b
)
(
z
−
b
)
∗
=
(
z
−
b
)
(
z
∗
−
b
∗
)
=
z
z
∗
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
b
b
∗
=
|
z
|
2
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
|
b
|
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}
مثال آخر المعادلة التالية:
a
x
2
+
b
y
2
+
c
,
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,\,\!}
حيث a و b و c و x و y هي أعداد حقيقية، و a > 0 و b > 0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي:
نفرض
z
=
a
x
+
i
b
y
.
{\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}
إذن
|
z
|
2
=
z
z
∗
=
(
a
x
+
i
b
y
)
(
a
x
−
i
b
y
)
=
a
x
2
−
i
a
b
x
y
+
i
b
a
y
x
−
i
2
b
y
2
=
a
x
2
+
b
y
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}
وبالتالي
a
x
2
+
b
y
2
+
c
=
|
z
|
2
+
c
.
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,\!}
المنظور الهندسي
عدل
لإكمال المربع للمعادلة
x
2
+
b
x
=
a
{\displaystyle x^{2}+bx=a\,}
حيث أن x 2 تمثل مساحة مربع طول ضلعه x ،
وbx تمثل مساحة مستطيل ضلعاه هما b و x ،
وبالتالي فإن عملية إكمال المربع يمكن اعتبارها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع.
إذا حاولنا إنشاء مربعا كبيرا مكون من (المربع x 2 ) و(المستطيل bx ) معا، سنجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكماله. الحد
(
b
/
2
)
2
{\displaystyle (b/2)^{2}}
إكمال المربع [1]
إكمال المربع بطريقة مختلفة
عدل
كما رأينا سابقا فقد أضفنا الحد الثالث v 2 إلى المعادلة
u
2
+
2
u
v
{\displaystyle u^{2}+2uv\,}
لنحصل على مربع. لكن هناك حالات أخرى نقوم فيها بإضافة الحد الثاني (أو الأوسط) بحيث يكون إما (2uv ) أو (2uv- ) إلى المعادلة
u
2
+
v
2
{\displaystyle u^{2}+v^{2}\,}
لنحصل على مربع على الصورة:
u
2
+
v
2
=
u
2
+
2
u
v
+
v
2
−
2
u
v
=
(
u
+
v
)
2
−
2
u
v
{\displaystyle u^{2}+v^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}-2uv=(u+v)^{2}-2uv\,}
أو
u
2
+
v
2
=
u
2
−
2
u
v
+
v
2
+
2
u
v
=
(
u
−
v
)
2
+
2
u
v
{\displaystyle u^{2}+v^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}+2uv=(u-v)^{2}+2uv\,}
مثال: مجموع رقم موجب ومقلوبه
عدل
إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب
x
{\displaystyle x\,}
1
x
{\displaystyle {1 \over x}\,}
x
+
1
x
=
(
x
−
2
+
1
x
)
+
2
=
(
x
−
1
x
)
2
+
2
{\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}
واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.
مثال: تحليل معادلة بسيطة
عدل
عند تحليل المعادلة التالية
x
4
+
324.
{\displaystyle x^{4}+324.\,\!}
نجد أنها على صورة
(
x
2
)
2
+
(
18
)
2
,
{\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},\,\!}
وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة
2
∗
x
2
∗
(
18
)
=
36
x
2
,
{\displaystyle 2*x^{2}*(18)=36x^{2},\,\!}
فسوف نحصل على
x
4
+
324
=
(
x
4
+
36
x
2
+
324
)
−
36
x
2
=
(
x
2
+
18
)
2
−
(
6
x
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\end{aligned}}}
وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:
=
(
x
2
+
18
+
6
x
)
(
x
2
+
18
−
6
x
)
=
(
x
2
+
6
x
+
18
)
(
x
2
−
6
x
+
18
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}
السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير x .
وصلات خارجية
عدل
^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22c4c34904778f055746900c6f939fc3d29aff2)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e905c1705aff97d23a6f09c27d5bb99a1693007e)
![{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ee0335f9fc70a9d6f1e911da0051ad9970811c)
^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d58b55ab950dc35a66612eabf42d288ae3c2d0a)
