توزيع غاما المعمم
دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات
a
>
0
{\displaystyle a>0}
d
>
0
,
p
>
0
{\displaystyle d>0,p>0}
الدعم
x
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle x\;\in \;(0,\,\infty )}
د۔ك۔ح۔
p
/
a
d
Γ
(
d
/
p
)
x
d
−
1
e
−
(
x
/
a
)
p
{\displaystyle {\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}
د۔ت۔ت
γ
(
d
/
p
,
(
x
/
a
)
p
)
Γ
(
d
/
p
)
{\displaystyle {\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}
المتوسط الحسابي
a
Γ
(
(
d
+
1
)
/
p
)
Γ
(
d
/
p
)
{\displaystyle a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}}
الوسيط الحسابي بلا صيغة مغلقة بسيطة.
المنوال
a
(
d
−
1
p
)
1
p
f
o
r
d
>
1
,
o
t
h
e
r
w
i
s
e
0
{\displaystyle a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {for} \;d>1,\mathrm {otherwise} \;0}
التباين
a
2
(
Γ
(
(
d
+
2
)
/
p
)
Γ
(
d
/
p
)
−
(
Γ
(
(
d
+
1
)
/
p
)
Γ
(
d
/
p
)
)
2
)
{\displaystyle a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)}
التجانف
التفرطح
الاعتلاج
ln
a
Γ
(
d
/
p
)
p
+
d
p
+
(
1
p
−
d
p
)
ψ
(
d
p
)
{\displaystyle \ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)}
د۔م۔ع
الدالة المميزة
معلومات فيشر {{{معلومات فيشر}}}
توزيع غاما المعمم هو توزيع احتمالي مستمر محدد بثلاث معلمات. هذا التوزيع هو في الواقع تعميم لتوزيع غاما لمعلمتين. نظرًا لأن العديد من التوزيعات المستخدمة لتحليل البقاء (مثل التوزيع الأسي ، وتوزيع وایبل ، وتوزيع غاما ، والتوزيع شبه الطبيعي) هي حالات خاصة لتوزيع غاما المعمم ، فإنه يُستخدم أحيانًا لتحديد النموذج المناسب وفقًا لمجموعة البيانات.[1]
توزيع غاما المعمم له ثلاث معلمات:
a
>
0
{\displaystyle a>0}
d
>
0
{\displaystyle d>0}
p
>
0
{\displaystyle p>0}
x
{\displaystyle x}
دالة كثافة احتمالية هي:[2]
f
(
x
;
a
,
d
,
p
)
=
(
p
/
a
d
)
x
d
−
1
e
−
(
x
/
a
)
p
Γ
(
d
/
p
)
{\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}}}
هنا
Γ
(
⋅
)
{\displaystyle \Gamma (\cdot )}
دالة التوزيع التراكمي تساوي:
F
(
x
;
a
,
d
,
p
)
=
γ
(
d
/
p
,
(
x
/
a
)
p
)
Γ
(
d
/
p
)
{\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}
γ
(
⋅
)
{\displaystyle \gamma (\cdot )}
دالة غاما غير المكتملة.
إذا
d
=
p
{\displaystyle d=p}
وايبول . أيضا إذا
p
=
1
{\displaystyle p=1}
[2]
إذا كان
X
{\displaystyle X}
عزم الدوران به:[3]
E
(
X
r
)
=
a
r
Γ
(
d
+
r
p
)
Γ
(
d
p
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}}
عدل
إذا
f
1
{\displaystyle f_{1}}
f
2
{\displaystyle f_{2}}
تباعد كولبيك ليبلر مساويًا لـ:[4]
D
K
L
(
f
1
∥
f
2
)
=
∫
0
∞
f
1
(
x
;
a
1
,
d
1
,
p
1
)
ln
f
1
(
x
;
a
1
,
d
1
,
p
1
)
f
2
(
x
;
a
2
,
d
2
,
p
2
)
d
x
=
ln
p
1
a
2
d
2
Γ
(
d
2
/
p
2
)
p
2
a
1
d
1
Γ
(
d
1
/
p
1
)
+
[
ψ
(
d
1
/
p
1
)
p
1
+
ln
a
1
]
(
d
1
−
d
2
)
+
Γ
(
(
d
1
+
p
2
)
/
p
1
)
Γ
(
d
1
/
p
1
)
(
a
1
a
2
)
p
2
−
d
1
p
1
{\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}
ψ
(
⋅
)
{\displaystyle \psi (\cdot )}
دالة دایغما .[4]
^ Box-Steffensmeier, Janet M. ; Jones, Bradford S. (2004) Event History Modeling: A Guide for Social Scientists . Cambridge University Press. (ردمك 0-521-54673-7 ) (pp. 41-43)
^ ا ب Stacy, E.W. (1962). "A Generalization of the Gamma Distribution." Annals of Mathematical Statistics 33(3): 1187-1192. جايستور 2237889
^ Johnson, N.L. ; Kotz, S; Balakrishnan, N. (1994) Continuous Univariate Distributions, Volume 1 , 2nd Edition. Wiley. (ردمك 0-471-58495-9 ) (Section 17.8.7)
^ ا ب C. Bauckhage (2014), Computing the Kullback-Leibler Divergence between two Generalized Gamma Distributions , arxiv:1401.6853 . نسخة محفوظة 2020-11-30 في Wayback Machine
+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568287890f02a4650ef601b9da752a394a07b07e)
