برهان لا كلامي

في الرياضيات، البرهان اللا كلامي (أو البرهان البصري) (بالإنجليزية: Proof without words) هو توضيح للهوية أو البيان الرياضي الذي يمكن إثباته بديهياً من خلال رسم توضيحي دون أي نص توضيحي مصاحب. يمكن اعتبار مثل هذه البراهين أكثر أناقة من البراهين الرسمية أو الصارمة رياضيًا نظرًا لطبيعتها الواضحة.^[1] عندما يوضح الرسم البياني حالة معينة من العبارة العامة، لكي تكون برهانًا، يجب أن تكون قابلة للتعميم.^[2]

البرهان اللا كلامي ليس كالبرهان الرياضي، لأنه يهمل تفاصيل الحجة المنطقية التي يوضحها. ومع ذلك، يمكن أن يوفر حدسًا قيمًا للمشاهد يمكن أن يساعده في صياغة دليل حقيقي أو فهمه بشكل أفضل.

أمثلة

مجموع الأعداد الفردية

برهان لا كلامي لنظرية مجموع الأعداد الفردية.

ينص على أن مجموع جميع الأعداد الفردية الإيجابية حتى 2n − 1 هو مربع كامل — وبشكل أكثر تحديدًا، المربع الكامل n ² — يمكن إثباته ببرهان لا كلامي. ^[3]

في إحدى زوايا الشبكة، يمثل مربع واحد 1، المربع الأول. يمكن لَفُّه على الجانبين بشريط من ثلاث مربعات (الرقم الفردي التالي) للحصول على مربع 2 × 2: 4، أي المربع الثاني. إضافة خمس مربعات أخرى يصنع مربع 3 × 3: 9، أي المربع الثالث. يمكن أن تستمر هذه العملية بطريقة لا منتهية.

نظرية فيثاغورس

برهان إعادة الترتيب لنظرية فيثاغورس. تظل المساحة المكشوفة من المساحة الرمادية ثابتة قبل وبعد إعادة ترتيب المثلثات: على اليسار تظهر أنها تساوي c²، وعلى اليمين a²+b² .

نظرية فيثاغورس تنص على أن $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ويمكن إثباتها بدون كلمات.^[4]

إحدى طرق القيام بذلك هي تصور مربع أكبر مكون من الجوانب $a+b$ ، مع أربعة مثلثات قائمة الزاوية مكونة من الجوانب $a$ و $b$ و $c$ في زواياه، بحيث يكون الفراغ الذي في وسطه مربعاً قطرياً مساحته $c^{2}$ . يمكن إعادة ترتيب المثلثات الأربعة داخل المربع الأكبر لتقسيم المساحة الفارغة إلى مربعين $a^{2}$ و $b^{2}$ . ^[5]

متباينة ينسن

دليل رسومي على متباينة ينسن.

يمكن أيضًا إثبات متباينة ينسن بيانيًا. المنحنى المتقطع على طول محور السينات «X» هو التوزيع المفترض لـ «X»، في حين أن المنحنى المتقطع على طول محور الصادات «Y» هو التوزيع المقابل لقيم «Y». يؤدي التعيين المحدب ل «Y(X)» إلى "تمديد" التوزيع بشكل متزايد لزيادة قيم «X». ^[6]

الاستخدام

تنشر مجلة الرياضيات ومجلة كلية الرياضيات مقالة عادية بعنوان "برهان بدون كلمات" (بالإنجليزية: Proof without words) تحتوي، كما يوحي العنوان، على براهين بدون كلمات.^[3] تقوم مواقع فن حل المسائل وموقع جمعية الولايات المتحدة للبحث عن مواهب الرياضيات (بالإنجليزية: USAMTS) الإلكتروني بتشغيل برمجيات جافا التي توضح البراهين اللا كلامية.^[7]^[8]

بالمقارنة مع البراهين الرسمية

لكي يتم قبول الدليل من قبل المجتمع الرياضي، يجب أن يوضح منطقيًا كيف أن البيان الذي يهدف إلى إثباته يتبع كليًا وبشكل حتمي مجموعة من الافتراضات.^[9] قد يوحي البرهان اللا كلامي بمثل هذه الحجة، لكنه لا يُقِيمُها بشكلٍ مباشر، لذلك لا يمكنه أن يحل محل البرهان الرسمي عندما يكون مطلوبًا.^[10]^[11] بدلاً من ذلك، يستخدم علماء الرياضيات البراهين اللا كلامية كرسوم توضيحية ووسائل مساعدة تعليمية للأفكار التي تم إثباتها رسميًا بالفعل.^[12]^[13]

انظر أيضاً

مراجع

^ Dunham 1994، صفحة 120
^ إيريك ويستاين، Proof without Words، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية). Retrieved on 2008-6-20
^ ^ا ^ب Dunham 1994، صفحة 121
^ Nelsen 1997، صفحة 3
^ Benson, Donald.
^ McShane، E. J. (1937)، "Jensen's Inequality"، Bulletin of the American Mathematical Society، American Mathematical Society، ج. 43، ص. 527، DOI:10.1090/S0002-9904-1937-06588-8
^ Gallery of Proofs، Art of Problem Solving، مؤرشف من الأصل في 2024-04-08، اطلع عليه بتاريخ 2015-05-28
^ Gallery of Proofs، USA Mathematical Talent Search، مؤرشف من الأصل في 2012-07-17، اطلع عليه بتاريخ 2015-05-28
^ Lang، Serge (1971). Basic Mathematics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ص. 94. We always try to keep clearly in mind what we assume and what we prove. By a 'proof' we mean a sequence of statements each of which is either assumed, or follows from the preceding statements by a rule of deduction, which is itself assumed.
^ Benson، Steve؛ Addington، Susan؛ Arshavsky، Nina؛ Cuoco؛ Al؛ Goldenberg، E. Paul؛ Karnowski، Eric (6 أكتوبر 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (ط. Illustrated). Corwin Press. ص. 78. ISBN:9781412905206. مؤرشف من الأصل في 2024-04-08. Proofs without words are not really proofs, strictly speaking, since details are typically lacking.
^ Spivak، Michael (2008). Calculus (ط. 4th). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ص. 138. ISBN:978-0-914098-91-1. مؤرشف من الأصل في 2024-04-08. Basing the argument on a geometric picture is not a proof, however...
^ Benson، Steve؛ Addington، Susan؛ Arshavsky، Nina؛ Cuoco؛ Al؛ Goldenberg، E. Paul؛ Karnowski، Eric (6 أكتوبر 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (ط. Illustrated). Corwin Press. ص. 78. ISBN:9781412905206. مؤرشف من الأصل في 2024-04-08. However, since most proofs without words are visual in nature, they often provide a reminder or hint of what's missing.
^ Schulte، Tom (12 يناير 2011). "Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking (review)". MAA Reviews. The Mathematical Association of America. مؤرشف من الأصل في 2024-02-25. اطلع عليه بتاريخ 2022-10-26. This slim collection of varied visual 'proofs' (a term, it can be argued, loosely applied here) is entertaining and enlightening. I personally find such representations engaging and stimulating aids to that 'aha!' moment when symbolic argument seems not to clarify.

Dunham، William (1994)، The Mathematical Universe، John Wiley and Sons، ISBN:0-471-53656-3
Nelsen، Roger B. (1997)، Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking، Mathematical Association of America، ص. 160، ISBN:978-0-88385-700-7
Nelsen، Roger B. (2000)، Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking، Mathematical Association of America، ص. 142، ISBN:0-88385-721-9
Gulley، Ned (4 مارس 2010)، Shure، Loren (المحرر)، Nicomachus's Theorem، Matlab Central، مؤرشف من الأصل في 2013-04-11.

برهان لا كلامي في المشاريع الشقيقة:

صور وملفات صوتية من كومنز.

بوابة رياضيات

[dunham120-1] Dunham 1994، صفحة 120

[2] إيريك ويستاين، Proof without Words، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية). Retrieved on 2008-6-20

[dunham121-3] ا ^ب Dunham 1994، صفحة 121

[4] Nelsen 1997، صفحة 3

[5] Benson, Donald.

[6] McShane، E. J. (1937)، "Jensen's Inequality"، Bulletin of the American Mathematical Society، American Mathematical Society، ج. 43، ص. 527، DOI:10.1090/S0002-9904-1937-06588-8

[7] Gallery of Proofs، Art of Problem Solving، مؤرشف من الأصل في 2024-04-08، اطلع عليه بتاريخ 2015-05-28

[8] Gallery of Proofs، USA Mathematical Talent Search، مؤرشف من الأصل في 2012-07-17، اطلع عليه بتاريخ 2015-05-28

[9] Lang، Serge (1971). Basic Mathematics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ص. 94. We always try to keep clearly in mind what we assume and what we prove. By a 'proof' we mean a sequence of statements each of which is either assumed, or follows from the preceding statements by a rule of deduction, which is itself assumed.

[10] Benson، Steve؛ Addington، Susan؛ Arshavsky، Nina؛ Cuoco؛ Al؛ Goldenberg، E. Paul؛ Karnowski، Eric (6 أكتوبر 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (ط. Illustrated). Corwin Press. ص. 78. ISBN:9781412905206. مؤرشف من الأصل في 2024-04-08. Proofs without words are not really proofs, strictly speaking, since details are typically lacking.

[11] Spivak، Michael (2008). Calculus (ط. 4th). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ص. 138. ISBN:978-0-914098-91-1. مؤرشف من الأصل في 2024-04-08. Basing the argument on a geometric picture is not a proof, however...

[12] Benson، Steve؛ Addington، Susan؛ Arshavsky، Nina؛ Cuoco؛ Al؛ Goldenberg، E. Paul؛ Karnowski، Eric (6 أكتوبر 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (ط. Illustrated). Corwin Press. ص. 78. ISBN:9781412905206. مؤرشف من الأصل في 2024-04-08. However, since most proofs without words are visual in nature, they often provide a reminder or hint of what's missing.

[13] Schulte، Tom (12 يناير 2011). "Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking (review)". MAA Reviews. The Mathematical Association of America. مؤرشف من الأصل في 2024-02-25. اطلع عليه بتاريخ 2022-10-26. This slim collection of varied visual 'proofs' (a term, it can be argued, loosely applied here) is entertaining and enlightening. I personally find such representations engaging and stimulating aids to that 'aha!' moment when symbolic argument seems not to clarify.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]