معادلة تفاضلية تامة

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الدقيقة أو المعادلة التفاضلية الكلية هي نوع محدد من المعادلات التفاضلية العادية التي لديها تطبيقات كثيرة في الفيزياء والهندسة.

تعريف

إذا أفترضنا مجموعة مفتوحة فرعية متصلة D من R ² ودالتان I و J ذات مجال مستمر على D، حينها تكون المعادلة التفاضلية العادية الضمنية من الدرجة الأولى التي على الصيغة التالية

$I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

تسمى معادلة تفاضلية تامة إذا كانت هناك دالة F قابلة للتفاضل باستمرار، تسمى الدالة الإحتمالية، بحيث

${\frac {\partial F}{\partial x}}=I$

و

${\frac {\partial F}{\partial y}}=J.$

يُشير مسمى «المعادلة التفاضلية الدقيقة» إلى الإشتقاق الدقيق للدالة. للدالة$F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$، المشتق الدقيق أو الكلي بالنسبة إلى $x_{0}$ يمكن حسابه من خلال الصيغة

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.$

مثال

الدالة $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ , على الشكل

$F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c$

هي دالة محتملة للمعادلة التفاضلية

$x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y=0.\,$

وجود دوال محتملة

في التطبيقات الفيزيائية والهندسية، لا تكون الدوال I و J عادةً مستمرة فحسب، بل يمكن اشتقاقها باستمرار . تزودنا نظرية شوارز حينها بمعيار ضروري لوجود دالة محتملة. بالنسبة للمعادلات التفاضلية المعرّفة على مجموعات متصلة ببساطة، يكون المعيار كافيًا ونحصل على النظرية التالية:

إذا أُعطيت معادلة تفاضلية على الصيغة (على سبيل المثال، عندما يكون ميل F صفر في اتجاه x و y عند (F (x، y) ):

$I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

مع I و J قابلتان للإشتقاق بشكل مستمر على مجموعة فرعية متصلة ومفتوحة ببساطة D من R ^2، فإن الدالة الإحتمالية F موجودة إذا وفقط إذا

${\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).$

حلول المعادلات التفاضلية الدقيقة

بالنظر إلى معادلة تفاضلية دقيقة محددة في مجموعة فرعية D من R ² متصلة ومفتوحة ببساطة مع الدالة المحتملة F، فإن الدالة القابلة للتفاضل f مع (x، f ( x )) في D هي حل إذا وفقط إذا كان هناك رقم حقيقي c بحيث

$F(x,f(x))=c.\,$

لمسألة القيمة الأبتدائية

$y(x_{0})=y_{0}\,$

يمكننا محليًا إيجاد دالة محتملة بواسطة

$F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}\left[J(x_{0},t)+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\partial I}{\partial t}}(u,t)\,\mathrm {d} u\,\right]\mathrm {d} t.$

وخلال حلها

$F(x,y)=c\,$

بالنسبة إلى y، حيث c عدد حقيقي، يمكننا بعد ذلك التوصل إلى بقية الحلول.