متطابقات هامة

في الرياضيات، يطلق اسم المتطابقات الهامة أو المتطابقات الشهيرة أو المتساويات الهامة على بعض المتساويات التي تطبق على أعداد أو حدوديات. و هي تساعد على تسريع عمليات الحساب، تبسيط بعض الكتابات الجبرية، وكذا تحديد العوامل. تساعد المتطابقات الهامة كذلك في حل معادلة من الدرجة الثانية و إيجاد حلول المعادلات. بينت معظم هذه المتطابقات الهامة بالحلول الهندسية ثم عوضت بقيم قوة أكبر عن طريق حسابات جبرية.

الحل الهندسي للمتطابقة الهامة $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

متطابقات هامة من الدرجة الثانية

في هذا القسم بأكمله، a و b عددان حقيقيان، أو عددان عقديان. هذه المتطابقات الهامة صحيحة في حلقة تبادلية، حيث a و b متبادلان.

خاصيات

المتطابقات الهامة من الدرجة الثانية هي:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

المتطابقة الهامة الثانية يمكن أخذها حالة خاصة من المتطابقة الهامة الأولى، مع اعتبار، أنه تم تعويض (b) بـ (b–) في المتساوية الأولى. حسب القاعدة نستنج الخاصية التالية:

تعريف جداء هام: تسمى التعابير الثلاثة التالية جداء هاما $(a+b)^{2}{\text{;}}\quad (a-b)^{2}{\text{;}}\quad (a-b)(a+b).$

—

و نستنتج أيضا :

تعريف مجموع هام: تسمى التعابير الثلاثة التالية مجموعا هاما $a^{2}+2ab+b^{2};\quad a^{2}-2ab+b^{2};\quad a^{2}-b^{2}.$

—

أمثلة

النشر والتعميل

تساعد المتطابقات الهامة على تحويل كتابات بعض التعابير الجبرية، كما في المثال التالي:

$A=(2x-3)^{2}+(x+5)(3-x).$

التعبير A هو مجموع عمليتين جبريتين. العملية الأولى تعتبر جداء هاما، يمكن تحويلها إلى جمع:

$(2x-3)^{2}=(2x)^{2}-2\times 2x\times 3+3^{2}=4x^{2}-12x+9\quad {\text{;}}\quad A=4x^{2}-12x+9+(x+5)(3-x).$

يعتمد حل المقطع الثاني على عملية النشر:

$(x+5)(3-x)=x(3-x)+5(3-x)=3x-x^{2}+15-5x=-x^{2}-2x+15.$

بجمع العمليتين نحصل على النتيجة

$A=4x^{2}-12x+9-x^{2}-2x+15=3x^{2}-14x+24.$

المعادلات من الدرجة الثانية

المقالة الرئيسة: معادلة من الدرجة الثانية

تمكن المتطابقات الهامة من حل معادلات من الدرجة الثانية. نعتبر المثال التالي:

$x^{2}+2x-5=0.$

لحل المعادلة نقوم بحل الجانب الذي لا يحتوي على مجاهيل وذلك باستخراج عدد آخر.

$x^{2}+2x-5=x^{2}+2x+1-6.$

الأعداد الثلاثة الأولى الآن تشكل مجموعا هاما، يمكن تطبيق المتطابقة الهامة بحيث تصبح المعادلة على شكل:

$x^{2}+2x-5=(x+1)^{2}-6=(x+1)^{2}-({\sqrt {6}})^{2}=0.$

نستنتج الآن مجموعا هاما جديدا بحيث تكتب المعادلة على شكل:

$x^{2}+2x-5=(x+1+{\sqrt {6}})(x+1-{\sqrt {6}})=0.$

الجداء a.b لعددين a و b يكون منعدما إذا وفقط إذا كان a أو b منعدما. . حل المعادلة يؤول إلى حل معادلتين من الدرجة الأولى:

$(1)\;x+1+{\sqrt {6}}=0\quad {\text{;}}\quad (2)\;x+1-{\sqrt {6}}=0.$

نجد حلي المعادلة، التي تسمى أيضا جذر الحدودية:

$x_{1}=-1-{\sqrt {6}}\quad {\text{;}}\quad x_{2}=-1+{\sqrt {6}}.$

متعددات حدود مرفوعة إلى الدرجة الثانية

خاصية: لرفع حدودية ذات حدود متعددة إلى الدرجة الثانية، فقط يتم جمع مربع كل حد في الحدودية مع ضعف مجموع الجداءات الممكنة بين الحدود

—مثال: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc),$ $(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd).$

متطابقات هامة متنوعة

متطابقة أويلر للمربعات الأربعة

متطابقة المربعات الأربعة لأويلر تصل بينها ثمانية أعداد وتأخذ الشكل التالي:

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})$

$=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}$

$+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.$

متطابقة صوفي جيرمين

متطابقة صوفي جرمين تنص على أن لكل عدد x و y، لدينا:

$x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2}-2xy)(x^{2}+2y^{2}+2xy)=((x+y)^{2}+y^{2})((x-y)^{2}+y^{2}).$

متطابقة جون روبرت أرغاند

$(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1.$

متطابقة كارل فريدريك غوس

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)={\frac {1}{2}}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}].$

متطابقات أدريان لوجاندر

$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}),$

$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab,$

$(a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2}).$

متطابقات جوزيف لاغرانج

$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2},$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}.$

متطابقة هامة من الدرجة n

نظرية ذات الحدين لنيوتن

المقالة الرئيسة: نظرية ذات الحدين

نفس التقنية المتبعة في المتطابقة الهامة ذات الدرجة 2. ليكن a و b عددين حقيقيين:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};$

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.$

بطريقة أخرى:

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4};$

$(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}.$

بنفس الطريقة:

$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5};$

$(a-b)^{5}=a^{5}-5a^{4}b+10a^{3}b^{2}-10a^{2}b^{3}+5ab^{4}-b^{5}.$

كذلك يمكن جعلها على أي درجة n باستعمالنظرية ذات الحدين أو نظرية حد الكرخي — نيوتن

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.$

معاملات التعبير المعتبر كحدودية في x و في y تدعى معاملات ثنائية. حتى وإن كان y عددا سالبا، فإنه نحصل على نفس التعابير أعلاه.

أمثلة أخرى

متطابقات هامة من الدرجة الثانية

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,$

متطابقات هامة من الدرجة الثالثة

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,$

متطابقات هامة من الدرجة الرابعة

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,$

$(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}\,$

متطابقات هامة من الدرجة الخامسة

$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\,$

$(a-b)^{5}=a^{5}-5a^{4}b+10a^{3}b^{2}-10a^{2}b^{3}+5ab^{4}-b^{5}\,$

$a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})\,$

$a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})\,$

متطابقات هامة من الدرجة السادسة

$a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})\,$

$a^{6}-b^{6}=(a+b)(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,$

متطابقات هامة من الدرجة السابعة

$a^{7}+b^{7}=(a+b)(a^{6}-ab^{5}+a^{2}b^{4}-a^{3}b^{3}+a^{4}b^{2}-a^{5}b+b^{6})\,$

$a^{7}-b^{7}=(a-b)(a^{6}+ab^{5}+a^{2}b^{4}+a^{3}b^{3}+a^{4}b^{2}+a^{5}b+b^{6})\,$