مشتق (رياضيات)

(بالتحويل من اشتقاق (رياضيات))

العدد المُشتَقّ في نقطة، على رسم بياني لدالة ذات متغيرات وقيم حقيقية، هو معامل المماس الموجِّهُ.[1][2][3] يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية. وتعرف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى (f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة. نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية. ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

مواضيع في التفاضل والتكامل
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
مبرهنة رول
تفاضل وتكامل كسري

عندما Δx تقارب 0.

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

المنحنى معبر بالأسود، والمستقيم المماس له معبر بالأحمر، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، تسمى بالعدد المشتق

التاريخعدل

يعود تاريخ الحساب متناهي الصغر بشكل عام إلى العصور القديمة، ويرتبط بالرياضيين إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتس،[4] حيث اكتشفاه في القرن السابع عشر. ومع ذلك نجد أن هذا النوع من الحساب بدأه علماء رياضيات سابقين: أرخميدس وبيير دي فيرما، وخاصة إسحاق بارو.[5]

رمز الاشتقاقعدل

 
مشتقة الدالة   عند كل نقطة, هو ميل المماس لمنحنى تلك الدالة, الخط دائما مماس للمنحنى الأزرق, وميله يمثل المشتقة. لاحظ تكون المشتقة موجبة عندما يظهر الخط باللون الأخضر, وسالبة عندما يظهر باللون الأحمر , وصفر عندما يظهر الخط باللون الأسود.

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، منها ما يلي :

صيغة لايبنتزعدل

  ،والتي تكافئ الصيغة  

و تُقرأ ((dfdx)) أو ((مشتقة f بدلالة x)) ، أما d(f(x))/dx فتُقرأ ((ddx للدالة f عند x)) أو ((مشتقة f عند x))

dy/dx

و تُقرأ ((dydx)) أو ((مشتقة y بدلالة x))

صيغة لاغرانجعدل

واحدة من الترميزات الأكثر استعمالا في الرياضيات المعاصرة تعود إلى عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف لويس لاغرانج.

  أو y'، و تُقرأ الأخيرة مشتقة y.

صيغة إسحاق نيوتنعدل

  أو   ،تستعمل خاصة في الفيزياء.

صيغة ليونهارد أويلرعدل

 

قواعد حساب الدالة المشتقةعدل

الاشتقاق الثابتعدل

في التحليل الرياضي، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر. التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

مشتقات بعض الدوال المعروفةعدل

الدالة
 
المشتقة
 
شرط الاشتقاق
     
     
     
   

 

     
     
     
     
     
    أو    ,  
     
     
     
     
     
     
     
     

انظر أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. صفحة 63. ISBN 0-8218-0772-2. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ "The Notation of Differentiation". MIT. 1998. مؤرشف من الأصل في 05 ديسمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 24 أكتوبر 2012. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); تحقق من التاريخ في: |تاريخ أرشيف= (مساعدة)
  3. ^ Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. صفحة 1. ISBN 0-486-66721-9. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. ^ Bos, H. J. M. (1974-03-01). "Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus". Archive for History of Exact Sciences (باللغة الإنجليزية). 14 (1): 1–90. doi:10.1007/BF00327456. ISSN 1432-0657. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  5. ^ Émerand (1860). Biographie de Tarn-et-Garonne: études historiques et bibliographiques ... (باللغة الفرنسية). Forestié neveu. مؤرشف من الأصل في 14 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)