أثر (جبر خطي)

في الجبر الخطي، أثر مصفوفة مربعة A (بالإنجليزية: Trace of matrix)‏ هو مجموع مداخل المصفوفة الواقعة على القطر الرئيسي (القطر الممتد من العنصر الأعلى يسارا إلى العنصر الأسفل يمينا).

$\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$

حيث a_ii تمثل المدخل على الصف i والعمود i للمصفوفة A. أثر المصفوفة هو مجموع قيمها الذاتية، حقيقية كانت أم عقدية. أثر مصفوفة لا يتغير بتغيير القاعدة، صانعًا منها لامتباينا.

مثال

ليكن T عاملا خطيا ممثلا بالمصفوفة التالية:

${\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.$

فإن tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

يكون أثر مصفوفة الوحدة هو بعد الفضاء; وهذا يقود إلى تعميم البعد باستعمال الأثر. يكون أثر المسار (أي P² = P) هو ترتيب المسار. يكون أثر مصفوفة نيلبوتنت صفرا.

بشكل عام، إذا كانت f(x) = (x − λ₁)^d₁···(x − λ_k)^d_kهي مميز كثيرة الحدود للمصفوفة A, فإن

$\mathrm {tr} (A)=d_{1}\lambda _{1}+\cdots +d_{k}\lambda _{k}.\!$

خصائص

خصائص أساسية

$\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$,

$\operatorname {tr} (cA)=c\operatorname {tr} (A)$.

انظر إلى منقولة مصفوفة.

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })$.

أثر جداء مصفوفتين

$\operatorname {tr} (X^{\mathrm {T} }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (Y^{\mathrm {T} }X)=\operatorname {tr} (YX^{\mathrm {T} })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}$.

جبر لي

انظر إلى جبر لي.

انظر أيضا

• دالة مميزة (نظرية احتمالات)