في الرياضيات ، متباينة هادفايغر-فنسلر (بالإنجليزية : Hadwiger–Finsler inequality ) هي نتيجة في هندسة المثلثات في المستوى الإقليدي، تنص على أنه في مثلث في المستوى، أطوال أضلاعه b و a و c و مساحته A ، تتحقق المتراجحة التالية:
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
(
a
−
b
)
2
+
(
b
−
c
)
2
+
(
c
−
a
)
2
+
4
3
A
.
(
H
F
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\,A.(HF)}
متباينة فايتزينبوخ هي نتيجة بسيطة لمتباينة هادفايغر-فنسلر: إذا كانت b , a و c أطوال أضلاع مثلث في المستوى و A مساحته، فإن:
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
3
A
.
(
W
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,A.(W)}
سميت متباينة هادفايغر-فنسلر هكذا نسبة إلى بول فنسلر وهوغو هادفايغر (1937).
برهان متفاوتة هادفايغر-فنسلر
عدل
من قانون جيب التمام نحصل على:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }
حيث
α
{\displaystyle \alpha }
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
a
2
=
(
b
−
c
)
2
+
2
b
c
(
1
−
cos
α
)
{\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha )}
و لكون
A
=
1
2
b
c
sin
α
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha }
a
2
=
(
b
−
c
)
2
+
4
A
(
1
−
cos
α
)
sin
α
{\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {(1-\cos \alpha )}{\sin \alpha }}}
الآن تذكر أن
1
−
cos
α
=
2
sin
2
α
2
{\displaystyle 1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}
و
sin
α
=
2
sin
α
2
cos
α
2
{\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}
باستخدام هذا نحصل على:
a
2
=
(
b
−
c
)
2
+
4
A
tan
α
2
{\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}}
بفعل هذا لكل أضلاع المثلث وبجمع المتساويات نحصل على:
a
2
+
b
2
+
c
2
=
(
a
−
b
)
2
+
(
b
−
c
)
2
+
(
c
−
a
)
2
+
4
A
(
tan
α
2
+
tan
β
2
+
tan
γ
2
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}})}
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
tan
{\displaystyle \tan }
tan
α
2
+
tan
β
2
+
tan
γ
2
≥
3
tan
α
+
β
+
γ
6
=
3
tan
π
6
=
3
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}}
باستخدام هذا نحصل على:
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
(
a
−
b
)
2
+
(
b
−
c
)
2
+
(
c
−
a
)
2
+
4
3
A
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\,A}
هذه هي متباينة هادفايغر-فنسلر.
