قاعدة لايبنتز للتكامل

قاعدة لايبنتز للتكامل هي قاعدة رياضياتية في حساب التفاضل والتكامل  سميت تيمنا بغوتفريد لايبنتز، والتي تقول أن كل تكامل على شاكلة:

ترميز لايبنتز للتفاضل

معلومات عامة

جزء من	تفاضل وتكامل
الاستعمال	تكامل مشتق
سُمِّي باسم	غوتفريد لايبنتس
يدرسه	تفاضل وتكامل
تعريف الصيغة	${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y=f(x,\beta (x))\beta '(x)-f(x,\alpha (x))\alpha '(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\,\mathrm {d} y$
الرموز في الصيغة	$f$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

$\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$

حيث أن  $-\infty <a(x),b(x)<\infty$ مشتقته  بالشكل التالي:

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,$

حيث آن المشتق الجزئي يدل على أن ما داخل التكامل يمكن الأخذ به عندما يكون المتغير f(x, t) x يعتبر في اتخاذ مشتق. لاحظ أنه إذا كان كلا من $a(x)$ و $b(x)$ ثوابت، بمعنى أنّ $a(x)\equiv a$ و $b(x)\equiv b$، فسنحصل على التعبير التّالي:

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$

حالة الأبعاد الثلاثة التي تعتمد على الزمن

الشكل 1: حقل متجه F(r, t) محددة في جميع أنحاء الفضاء, سطح Σ يحدها منحنى ∂Σ تتحرك مع سرعة v على حقل دمج.

ان قاعدة لايبنتز للأبعاد الثنائية هي:

${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,$

حيث أن:

F(r, t) هو حقل متجه في موقف المكاني r في الوقت t,

Σ هو سطح متنقل في مساحة ثلاثية يحدها منحنى مغلق ∂Σ ،

dA هو متجه عنصر من سطح Σ،

ds هو متجه عنصر من منحنى ∂Σ،

v هي سرعة الحركة من المنطقة Σ،

∇⋅ هو متجه الاختلاف،

× هو متجه عبر المنتج،

إن ضعف التكامل هي التكاملات السطحية على سطح Σ و خط متكامل على إحاطة منحنى ∂Σ.

الأبعاد العليا

يمكن تمديد قانون ليبنيز ليشمل تكاملات في أبعاد متعددة. تسمى في حالة البعدين والثلاثة بمجال ديناميات السوائل كما في نظرية رينولدز للنقل:

${\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t){\vec {\textbf {v}}}_{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,$

انظر أيضًا

• قاعدة السلسلة
• قاعدة لايبنيز العامة

مزيد من القراءة

• Frederick S. Woods (1934). Advanced Calculus (ط. New). Ginn and Company. ASIN:B0006AMNBI.
• Frederick S. Woods (1926). Advanced Calculus (ط. 1st). Ginn and Company. ASIN:B00085L67S.
• David V. Widder (يوليو 1990). Advanced Calculus (ط. New). Dover Publications Inc. ISBN:978-0-486-66103-2.