عدد مثلثي تربيعي

العدد المثلثي التربيعي (أو العدد التربيعي المثلثي) Square triangular number هو عدد عدد مثلثي ومربع كامل. هنالك أعداد لانهائية مثلثية تربيعية، الأولى منها هي 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (متسلسلة A001110 في OEIS).

الصيغ الصريحة

بكتابة N_k للعدد المثلثي التربيعي kوبكتابة s_k وt_k لأطراف التربيع والتكعيب المقابلة بالصورة

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.

عرف الجذر المثلثي للعدد المثلثي $N={\frac {n(n+1)}{2}}$ على أنه $n$ . من التعريف ومن الصيغة التربيعية $n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.$ لذلك، $N$ يكون مثلثي إذا وإذا كان فقط $8N+1$ تربيعيا. بناء عليه، $M^{2}$ يكون تربيعيا ومثلثيا إذا وإذا كان فقط $8M^{2}+1$ تربيعيا، بعبارة أخرى، توجد أعداد $x$ و $y$ بحيث $x^{2}-8y^{2}=1$ . هذه صورة من معادلة بيل مع $n=8$ . جميع معادلات بيل لها حلول بديهية لأي قيمة n، يدعى هذا الحل بالصفري ويفهرس $(x_{0},y_{0})$ . إذا كان $(x_{k},y_{k})$ يرمز إلى الحل اللابديهي k لأي معادلة بيل لقيمة محدد n، فيمكن تبيان أن $x_{k+1}=2x_{k}x_{1}-x_{k-1}$ و $y_{k+1}=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}$ . بالتالي هناك لانهاية من الحلول لأي معادلة بيل بحيث لها حل لابديهي محقق كلما كانت n غير مربعة. الحل اللابديهي الأول عندما n=8 سهل الإيجاد: إنه (3,1). الحل $(x_{k},y_{k})$ لمعادلة بيل عندما n=8 ينتج عدد مثلثي تربيعي وجذورة التربيعية والمثلثية: $s_{k}=y_{k},t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},$ و $N_{k}=y_{k}^{2}.$ بالتالي، العدد المثلثي التربيعية الأول، مشتق من (3,1), is 1، والثاني مشتق من (17,6) (=6×(3,1)-(1,0)), هو 36.

في 1778 استطاع ليونارد أويلر إيجاد الصيغة الصريحة ^[1]^[2]^:12–13

N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.

من الصيغ الأخرى المكافئة (نحصل عليها من نشر هذه الصيغة) التي قد تكون مناسبة

{\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}

الصيغ الصريحة المقابلة لـ s_k وt_k هي ^[2]^:13

s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}

و

t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.

معادلة بيل

تنخفض مسألة الأعداد التربيعية المثلثية إلى معادلة بيل بالطريقة التالية.^[3] كل عدد مثلثي هو بالصورة t(t + 1)/2. لذلك نبحث عن أعداد صحيحة t، s بحيث

{\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.

بتحليل جبري بسيط تصبح

(2t+1)^{2}=8s^{2}+1,

ثم بجعل x = 2t + 1 وy = 2s، نحصل على معادلة ديفونتية

x^{2}-2y^{2}=1

وهي صورة من معادلة بيل. هذه المعادلة بالذات تحل عن طريق عدد بيلs P_k بصورة ^[4]

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};

ولذلك فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقة

s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.

هناك العديد من المتطابقات حول عدد بيل، وهذه تترجم إلى متطابقات حول العدد التربيعي المثلثي.

علاقات المعاودة أو التكرار

هناك صيغ تكرارية للأعداد التربيعية المثلثية، وكذلك للمربعات والمثلثيات ذات العلاقة. لدينا^[5]^:(12)

N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,{\text{ with }}N_{0}=0{\text{ and }}N_{1}=1.

N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},{\text{ with }}N_{0}=0{\text{ and }}N_{1}=1.

لدينا^[1]^[2]^:13

s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},{\text{ with }}s_{0}=0{\text{ and }}s_{1}=1;

t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,{\text{ with }}t_{0}=0{\text{ and }}t_{1}=1.

بيانات عددية

مع كبر قيمة $k$ ، تصبح النسبة $t_{k}/s_{k}$ قريبة من ${\sqrt {2}}\approx 1.41421356$ ونسبة الأعداد التربيعية المثلية تقترب من $(1+{\sqrt {2}})^{4}=17+12{\sqrt {2}}\approx 33.970562748$ . الجدول التالي يعطي قيما من $k$ between 0 and 11، والتي توضح كل الأعداد التربيعية المثلثية حتى $100\,000\,000$ .

$k$	$N_{k}$	$s_{k}$	$t_{k}$	$t_{k}/s_{k}$	$N_{k}/N_{k-1}$
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1.00000000$
$2$	$36$	$6$	$8$	$1.33333333$	$36.000000000$
$3$	$1\,225$	$35$	$49$	$1.40000000$	$34.027777778$
$4$	$41\,616$	$204$	$288$	$1.41176471$	$33.972244898$
$5$	$1\,413\,721$	$1\,189$	$1\,681$	$1.41379310$	$33.970612265$
$6$	$48\,024\,900$	$6\,930$	$9\,800$	$1.41414141$	$33.970564206$
$7$	$1\,631\,432\,881$	$40\,391$	$57\,121$	$1.41420118$	$33.970562791$
$8$	$55\,420\,693\,056$	$235\,416$	$332\,928$	$1.41421144$	$33.970562750$
$9$	$1\,882\,672\,131\,025$	$1\,372\,105$	$1\,940\,449$	$1.41421320$	$33.970562749$
$10$	$63\,955\,431\,761\,796$	$7\,997\,214$	$11\,309\,768$	$1.41421350$	$33.970562748$
$11$	$2\,172\,602\,007\,770\,041$	$46\,611\,179$	$65\,918\,161$	$1.41421355$	$33.970562748$