طريقة تقريب نقطة السرج

طريقة التقريب نقطة السرج، والتي اقترحها دانييلز في البداية (1954)، هي مثال محدد لتقنية نقطة السرج الرياضية المطبقة على الإحصاء. يوفر معادلة تقريب دقيقة للغاية لأي دالة الكثافة الاحتمالية أو دالة كتلة احتمالية للتوزيع، بناءً على وظيفة توليد اللحظة. هناك أيضًا صيغة لإطار التوزيع الشامل للتوزيع، اقترحها لوجاناني ورايس (1980).

تعريف

إذا تمت كتابة دالة توليد اللحظة للتوزيع كـ $M(t)$ ووظيفة التوليد التراكمية كـ $K(t)=\log(M(t))$ ثم يتم تعريف تقريب نقطة السرج إلى دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع على النحو التالي:

${\hat {f}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi K''({\hat {s}})}}}\exp(K({\hat {s}})-{\hat {s}}x)$

ويتم تعريف تقريب نقطة السرج إلى دالة التوزيع التراكمي على النحو التالي:

${\hat {F}}(x)={\begin{cases}\Phi ({\hat {w}})+\phi ({\hat {w}})({\frac {1}{\hat {w}}}-{\frac {1}{\hat {u}}})&{\text{for }}x\neq \mu \\{\frac {1}{2}}+{\frac {K'''(0)}{6{\sqrt {2\pi }}K''(0)^{3/2}}}&{\text{for }}x=\mu \end{cases}}$

أين ${\hat {s}}$ هو الحل ل $K'({\hat {s}})=x$ و ${\hat {w}}=\operatorname {sgn} {\hat {s}}{\sqrt {2({\hat {s}}x-K({\hat {s}}))}}$ و ${\hat {u}}={\hat {s}}{\sqrt {K''({\hat {s}})}}$