زمن محلي (رياضيات)

في النظرية الرياضياتية للعمليات العشوائية, يكون الزمن المحلي (بالإنجليزية: local time)‏ هو عبارة عن خاصية لعملية الانتشار مثل الحركة البراونية التي تميز الزمن التي تقضيها الجسيم عند مستوى معين. الزمن المحلي مفيد جداً و تظهر في الغالب في الصيغ التكاملية العشوائية المختلفة إذا كانت الكميّة المتكاملة سلسة بشكل صحيح, مثل ما هو موجود في صيغة تاناكا Tanaka's formula.

نهج بسيط لعملية ايتو Itō process مع سطح أزمنتها المحلية.

رسمياً, تعريف الزمن المحلي هو

$\ell (t,x)=\int _{0}^{t}\delta (x-b(s))\,ds$

حيث أن $b(s)$ هي عملية الانتشار و $\delta$ هي دالة ديراك دلتا Dirac delta function. و هي فكرة من اختراع باول بيار ليفي Paul Pierre Lévy. الفكرة الأساسية هي أن $\ell (t,x)$ هي مقياس (متغير) للمدة التي أستهلكتها $b(s)$ عند $x$ اعتماداً على الزمن $t$. يمكن أن تُكتب بهذه الصيغة

$\ell (t,x)=\lim _{\epsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\epsilon }}\int _{0}^{t}1\{x-\epsilon <b(s)<x+\epsilon \}ds,$

التي تشرح لماذا تسمى بالزمن المحلي للقيمة $b$ عند $x$.

انظر أيضًا

• حركة براونية,

المراجع

• K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8 .