جذر عدد صحيح

في نظرية الأعداد ، يتم تعريف الجَذْر الأساسي أو جَذْر العدد الصحيح الموجب n على أنه ناتج قسمة الأعداد الأولية المتفردة على n. يظهر كل عامل أولي لـ n مرة واحدة فقط كعامل للجداء التالي:

$$\displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p$$

تلعب الجذور دورًا مركزيًا في صياغة حدسية abc.

أمثلة

الأعداد الجذرية للأعداد الصحيحة الموجبة القليلة الأولى هي

1 ، 2 ، 3 ، 2 ، 5 ، 6 ، 7 ، 2 ، 3 ، 10 ، 11 ، 6 ، 13 ، 14 ، 15 ، 2 ، 17 ، 6 ، 19 ، 10 ، 21 ، 22 ، 23 ، 6 ، 5 ، 26 ، 3 ، 14 ، 29 ، 30 ، 31 ، 2 ، 33 ، 34 ، 35 ، 6 ، 37 ، 38 ، 39 ، 10 ، 41 ، 42 ، 43 ، 22 ، 15 ، 46 ، 47 ، 6 ، 7 ، 10 ، ... (متسلسلة A007947 في OEIS) .

علي سبيل المثال،

$$504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7$$

وبالتالي

$$\operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42$$

خواص

الدالة $\mathrm {rad}$ هي دالة جدائية (لكن ليست جدائية كاملة)

جَذْر أي عدد صحيح $n$ هو أكبر قاسم غير تربيعي لـ $n$ وكذا تُوصَف أيضًا بأنها نواة خالية من التربيعات لـ $n$. لا توجد خوارزمية بزمن متعدد الحدود لحساب الجزء الخالي من التربيع من عدد صحيح.

يُعمم التعريف ليشمل أكبر رقم $t$ خالٍ يقسم كلا من $n$ و $\mathrm {rad} _{t}$، وهي دوال جدائية نطاقها القوى الأولية مثل

$$\mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}$$

الحالات عندما تكون $t=3$ و $t=4$ مجدولة في  A007948 و  A058035 .

اُستخدم مفهوم الجذر الأساسي في حدسية abc، والتي تنص على ذلك ، لأي $\varepsilon >0$ ، يوجد رقم ثابت $K_{\varepsilon }$ بحيث أنه لكل الثلاثيات المكونة من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبيا فيما بينهم، يتحقق في $a$ و $b$ ، و $c$ العلاقة التالية $a+b=c$ ،

$$c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }$$