مبرهنة الوتر الثابت

مبرهنة الوتر الثابت هي عبارة في الهندسة الإقليدية حول الأوتار المتعلقة بدائرتين متقاطعتين.

طول الوتر في الشكل ثابت: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$ مهما كان موضع النقطة $z$.

طول القطر الثابت: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

تنص المبرهنة أنه إذا كانت الدوائر $k_{1}$ و $k_{2}$ تتقاطع في النقاط $P$ و$Q$ . $Z_{1}$ هي نقطة اختيارية على $k_{1}$ تختلف عن $P$ و $Q$ . وإذا كانت الخطوط $Z_{1}P$ و $Z_{1}Q$ تتقاطع مع الدائرة $k_{2}$ في $P_{1}$ و $Q_{1}$ . فإنّ طول الوتر $P_{1}Q_{1}$ في $k_{2}$ لا يعتمد على موقع $Z_{1}$ على $k_{1}$، بمعنى أنه ثابت.

تظل المبرهنة صالحةً عند $Z_{1}$ انطباق مع $P$ أو $Q$ ، شرط أن يحل الخط المماس عند $Z_{1}$ محل الخط غير المُعرّف آنذاك $Z_{1}P$ أو $Z_{1}Q$

ثمّة مبرهنة مماثلة في البعد الثالث تنطبق على تقاطع اثنين من الكرات. تنص على أنه إذا كانت الكرات $k_{1}$ و $k_{2}$ تتقاطع في الدائرة $k_{s}$ . و$Z_{1}$ هي نقطة عشوائية على سطح الكرة الأولى $k_{1}$، وليست على دائرة التقاطع $k_{s}$. فإنّ المخروط الممتد الذي أنشئ بواسطة $k_{s}$ و $Z_{1}$ يتقاطع مع الكرة الثانية $k_{2}$ في دائرة طول قطرها، أي أنه لا يعتمد على موقع $Z_{1}$ على $k_{1}$ .

مراجع

• لورينز هالبايزن ، نوربرت هونغيربولر ، خوان لاوشلي: ميت هارمونيشين فيرهالتنيسن زو كيجلشنيتن: بيرلين دير كلاسيشين هندسي . سبرينغر 2016 ،(ردمك 9783662530344) ، ص. 16 (ألماني)
• روجر ب.نلسن: إثبات بدون كلمات II . ماجستير ، 2000 ، ص. 29
• روس هونسبرجر : فتات رياضية . ماجستير ، 1979 ،(ردمك 978-0883853030) ، ص 126 - 127
• ناثان ألتشيلر كورت : على مجالين متقاطعين. مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية ، فرقة 40 ، العدد. 5 ، 1933 ، الصفحات 265-269 ( JSTOR )
• Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants. ماثيسيس ، فرقة 39 ، 1925 ، ص. 453 (فرنسي)

روابط خارجية

• نظرية الوتر الثابت كمشكلة في cut-the-knot.org