تخمين فيرما كاتالان

في نظرية الأعداد تخمين فيرما كاتالان هو تعميم مبرهنة فيرما الأخيرة حدسية كاتالان ومن هنا جاء الاسم. ينص التخمين على أن المعادلة

$a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad$

(1)

له عدد محدود من الحلول فقط ( a,b,c,m,n,k ) مع ثلاثة توائم متميزة من القيم ( a^m, bⁿ, c^k ) حيث a, b, c هي أعداد صحيحة موجبة من نوع اولية نسبيا و m ، n ، k هي ايجابية مرضية

${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.$

(2)

المتباينة في m و n و k جزء ضروري من التخمين. بدون المتباينة سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول على سبيل المثال مع k = 1 (لأي a و b و m و n ومع c = a ^m + b ⁿ ) أو مع m و n و k كلها تساوي اثنين ( لثلاثيات فيثاغورس).

اعتبارًا من عام ٢٠١٥ أصبحت الحلول العشرة التالية للمعادلة (1) التي تفي بمعايير المعادلة (2) معروفة:

$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$ (ل $m>6$ لإرضاء المعادلة. 2)

$2^{5}+7^{2}=3^{4}\;$

$7^{3}+13^{2}=2^{9}\;$

$2^{7}+17^{3}=71^{2}\;$

$3^{5}+11^{4}=122^{2}\;$

$33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;$

$1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;$

$9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;$

$17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;$

$43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;$

أول معادلة هي (1^m + 2³ = 3² ) هو الحل الوحيد حيث يكون أحدa, b or c يكون 1. وفقًا للتخمين الكاتالوني ، الذي تم إثباته في عام ٢٠٠٢ بواسطة <b>بريدا ميهيليسكو</b> . بينما تؤدي هذه الحالة إلى عدد لا نهائي من الحلول لـ (1) (حيث يمكن للمرء اختيار m الى m > 6).

نتائج جزئية

من المعروف من خلال نظرية دارمون-جرانفيل ، التي تستخدم <b>مبرهنة فالتينجز</b> أنه لأي اختيار ثابت للأعداد الصحيحة الموجبة م ، ن و ك مرضي (2).

تشير حدسية abc إلى حدسية فيرمات - الكاتالونية.

للحصول على قائمة بنتائج مجموعات الأس المستحيلة ، راجع حدس بيل # النتائج الجزئية . يكون تخمين بيل صحيحًا فقط إذا كانت جميع حلول فيرما كاتالان تحتوي على m = 2 أو n = 2 أو k = 2.