معيار راوث-هورتز للاستقرارية

معيار للاستقرارية وضعه العالمان إدوارد راوث وأدولف هورتز على حسب نظرية لهما ألحقت باسميهما وهي نظرية راوث-هورتز، ومما يجدر ذكره أنهما وضعاه بشكل منفصل لكن بعد تقديم اكتشافيهما ثبت رياضيا أنهما متكافئان فألحق المعيار باسميهما مع أن الطريقة الأيسر والتي تستعمل غالبا هي طريقة راوث وكانت تسمى سابقا جدول راوث أو صف راوث لكن تقديرا امجهود هورتز أضيف اسمه للمعيار وإن كان حتى الآن اسم راوث هو السائد والغالب.[1][2][3]

المعيارعدل

يقوم المعيار بتبيين استقرارية نظام خطي مستقل زمنيا، يعتمد المعيار على تحويل مقام دالة النقل الخاصة بالنظام إلى معادلة كثيرة حدود تسمى المعادلة المميزة ومن ثم جدولتها أفقيا وعموديا ابتداء من الدرجة القصوى إلى الدرجة الدنيا، بكون الترتيب العمودي تنازليا تدرجيا أما الترتيب الأفقي فيكون تنازليا خطويا إما فرديا وإما زوجيا كما في التالي :

في حال كانت دالة النقل هي   فإن جدول راوث -هورتز يكون كالتالي :

 

و يمكن حساب المعاملات b ،c عن طريق التالي :

 

 

 

 

مثال على المعيارعدل

ليكن مقام دالة النقل والذي هو ذاته الدالة المميزة =  

و بعد ضرب الأقواس وتحويلها إلى كثيرة حدود يوضع الجدول وتوجد المعاملات

 

بعد إتمام الجدول يتم النظر إلى العمود الأول الذي فيه المعيار على أن النظام يكون مستقرا إذا لم يكن هناك تغير في الإشارة (إشارة العمود الأول فقط)

و في هذا المثال هناك تغير في إشارة العمود حيث يوجد العدد سالب أربعة مما يعني مباشرة أن النظام غير مستقر ولتحديد أعداد الأقطاب غير المستقرة ينص المعيار على أن عدد الأقطاب غير المستقرة يساوي عدد مرات التغير في الإشارة (إشارة العمود الأول) وهو في هذا المثال قطبين غير مستقرين.

مراجععدل

  1. ^ Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt". Math. Ann. 46 (2): 273–284. doi:10.1007/BF01446812. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ Routh, E. J. (1877). A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion. Macmillan. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ Gopal, M. (2002). "flyball+governor Control Systems: Principles and Design, 2nd Ed. Tata McGraw-Hill Education. صفحة 14. ISBN 0070482896. مؤرشف من الأصل في 16 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)