زياد مسعد العنزي

التقسيم الهندسي من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في الهندسة الهندسية ، يستخدم أحد البديهية في Playfair لإيجاد الخط من خلال C1 وبالتوازي مع B1B2 ، وإيجاد الخط من خلال B2 وبالتوازي مع B1C1: تقاطع C2 هو نتيجة الترجمة المشار إليها. علم الهندسة الإسقاط المجسامي في 3D.svg إسقاط المجال إلى طائرة . الخطوط العريضة التاريخ الفروع [show] المفاهيم الميزات [show] صفر / واحد الأبعاد [show] ثنائي الأبعاد [show] ثلاثي الأبعاد [show] أربعة - / الأبعاد الأخرى [show] الهندسه بالاسم [show] حسب الفترة [show] Crystal Clear app 3d.png بوابة الهندسة الخامس تي البريد في الرياضيات ، الهندسة القاعدية هي ما تبقى من الهندسة الإقليدية عندما لا تستخدم (غالباً ما يقول علماء الرياضيات "عند النسيان") المفاهيم المترية للمسافة والزاوية.

وحيث أن مفهوم الخطوط المتوازية هو أحد الخصائص الرئيسية المستقلة عن أي مقياس ، فإن الهندسة الوراثية تعتبر غالبًا دراسة خطوط متوازية. لذلك ، فإن بديهيه Playfair ( نظرا لخط L ونقطة P ليس على L ، هناك بالضبط خط واحد مواز ل L الذي يمر عبر P ) أمر أساسي في الهندسة affine. يتم إجراء مقارنات بين الأرقام في الهندسة الوراثية مع التحولات الصعبة ، وهي عبارة عن تعيينات تحافظ على محاذاة النقاط وتوازي الخطوط.

يمكن تطوير الهندسة الإفتراضية بطريقتين مكافئتين أساسًا. [1]

في الهندسة التركيبية ، الفضاء الأصغر هو مجموعة من النقاط التي ترتبط بمجموعة من الخطوط ، والتي تلبي بعض البديهيات (مثل البديهية في Playfair).

كما يمكن تطوير الهندسة الإجبارية على أساس الجبر الخطي . في هذا السياق ، الفضاء الزائد عبارة عن مجموعة من النقاط المجهزة بمجموعة من التحولات (التي هي تعيينات بيولوجية ) ، الترجمات ، التي تشكل مساحة ناقلة (على حقل معين ، والأرقام الحقيقية عادة) ، ومثل ذلك بالنسبة لأي أمر زوج من النقاط هناك ترجمة فريدة من نوعها إرسال أول نقطة إلى الثانية. تكوين ترجمتين هو مجموعهم في مساحة المتجه للترجمات.

وبعبارات أكثر واقعية ، فإن هذا يرقى إلى وجود عملية ترتبط بأي زوج مرتب من نقاط متجه وعملية أخرى تسمح بترجمة نقطة بواسطة ناقل لإعطاء نقطة أخرى ؛ هذه العمليات مطلوبة لإرضاء عدد من البديهيات (لا سيما أن ترجمتين متتاليتين لهما تأثير الترجمة من خلال ناقل المجموع). باختيار أي نقطة على أنها "أصل" ، تكون النقاط في مراسلات فردية مع المتجهات ، ولكن لا يوجد خيار مفضل للمنشأ ؛ وبالتالي قد ينظر إلى مساحة عابر كما تم الحصول عليها من الفضاء ناقلات المرتبطة بها عن طريق "نسيان" الأصل (صفر ناقلات).

على الرغم من أن هذه المقالة تناقش المساحات الضيقة فقط ، إلا أن مفهوم "نسيان المقياس" هو أكثر عمومية ، ويمكن تطبيقه على المشعبات التعسفية ، بشكل عام. تم تطوير هذا الامتداد لمفهوم الفراغات المتقاربة إلى المشعبات بشكل عام في المقالة حول الاتصال الوراثي .

محتويات 1 التاريخ 2 نظم من البديهيات 2.1 قانون بابوس 2.2 هيكل منظم 2.3 حلقات ثلاثية 3 التحولات Affine 4 مساحة صغيرة 5 عرض إسقاطي 6 انظر أيضا 7 المراجع 8 قراءة إضافية 9 روابط خارجية التاريخ في عام 1748 ، أدخل ليونارد أويلر المصطلح affine [2] [3] (Latin affinis ، "related") في كتابه Introductio in analysin infinitorum (المجلد 2 ، الفصل الثامن عشر). في عام 1827 ، كتب أغسطس Möbius على الهندسة القسرية في كتابه Der Barycentrische Calcul (الفصل 3).

بعد برنامج Erlangen من فيليكس كلاين ، تم الاعتراف بالهندسة الإكليلية كتعميم للهندسة الإقليدية . [4]

في عام 1912 ، قام إدوين ب. ويلسون وجيلبرت ن. لويس بتطوير الهندسة الوراثية [5] [6] للتعبير عن نظرية النسبية الخاصة .

في عام 1918 ، أشار هيرمان وييل إلى الهندسة الإكلينيكية لنصه في الفضاء والوقت والمادة . استخدم الهندسة القُطرية لإدخال الجمع والطرح [7] في المراحل الأولى من تطوره في الفيزياء الرياضية . في وقت لاحق ، كتب ET Whittaker : [8]

إن هندسة وييل مثيرة للاهتمام تاريخياً لأنها كانت أول هندسة هندسية متقنة يتم وضعها بالتفصيل: فهي تستند إلى نوع خاص من النقل الموازي [...] باستخدام خطوط العالم للإشارات الضوئية في الفضاء الزمان رباعي الأبعاد. قد يطلق على عنصر قصير من أحد هذه الخطوط العالمية اسم "ناقل فارغ" ؛ ثم النقل الموازي في السؤال بحيث أنه يحمل أي ناقلات فارغة في نقطة واحدة إلى موقف ناقل فارغ في نقطة مجاورة. في عام 1984 ، وصفت Graciela Birman و Katsumi Nomizu في "مقالة بعنوان" علم المثلثات في هندسة لورنتزيان ". [9]

نظم البديهيات تم طرح العديد من المقاربات البديهية لتقسيم الهندسة:

قانون بابوس

قانون Pappus: إذا كانت الخطوط الحمراء متوازية والخطوط الزرقاء متوازية ، فيجب أن تكون الخطوط السوداء المنقطة موازية. وباعتبارها صفقات هندسية متقاربة مع خطوط متوازية ، فإن أحد خصائص أوجه الشبه التي أشار إليها بابوس من الإسكندرية تم أخذها كمقدمة: [10] [11]

إذا {\ displaystyle A، B، C} A، B، C هم على خط واحد و {\ displaystyle A '، B'، C '} A '، B، C' على آخر ، ثم

{\ displaystyle (AB '\ parallel A'B \ \ land \ BC' \ parallel B'C) \ Rightarrow CA '\ parallel C'A.} (AB '\ parallel A'B \ \ land \ BC' \ parallel B'C) \ Rightarrow CA '\ parallel C'A.

يحتوي النظام البديهي المقترح الكامل على نقطة ونقطة وخط يحتوي على نقطة كمفاهيم بدائية :

توجد نقطتان في سطر واحد فقط. لأي سطر l وأي نقطة P ، ليس على l ، هناك سطر واحد يحتوي على P ولا يحتوي على أي نقطة من l . يقال أن هذا الخط مواز ل . يحتوي كل سطر على نقطتين على الأقل. هناك ثلاث نقاط على الأقل لا تنتمي إلى سطر واحد. وفقًا لـ HSM Coxeter :

يتم تعزيز مصلحة هذه المسلمات الخمس من خلال حقيقة أنه يمكن تطويرها إلى مجموعة واسعة من المقترحات ، وعقد ليس فقط في الهندسة الإقليدية ولكن أيضا في الهندسة من الزمان والمكان Minkowski (في حالة بسيطة من 1 + 1 الأبعاد ، في حين تحتاج النظرية النسبية الخاصة إلى 1 + 3). يتم تحقيق التمديد إما للهندسة الإقليدية أو المنكسكية عن طريق إضافة مزيد من البديهيات الإضافية للتعامد ، إلخ. [12] تتوافق الأنواع المختلفة للهندسة المتقاربة مع أي تفسير يتم اتخاذه للتناوب . تتوافق الهندسة الإقليدية مع الفكرة العادية للدوران ، بينما تتوافق هندسة مينكووسكي مع الدوران الزائدي . فيما يتعلق بالخطوط العمودية ، فإنها تظل متعامدة عندما يتعرض المستوى العادي للدوران. في هندسة Minkowski ، تظل الخطوط المتعامدة الزائدية في هذه العلاقة عندما يتعرض المستوى للدوران الزائدي.

هيكل مرتبة يمكن بناء المعالجة البديهية للهندسة الإقطاعية المستوية من البديهيات للهندسة المطلوبة عن طريق إضافة بديهيتين إضافيتين: [13]

( افترض بديهية من التوازي ) وبالنظر إلى النقطة ألف وخط ص ، وليس من خلال A ، هناك على الأقل خط واحد من خلال A التي لا تلبي r. ( Desargues ) بالنظر إلى سبع نقاط مميزة A ، A ، B ، B ، C ، C ، O ، مثل AA و BB و CC هي خطوط مميزة من خلال O و AB موازية لـ A'B و BC هو بالتوازي مع B'C ، ثم AC بالتوازي مع A'C '. يشكّل مفهوم التوحد الوهمي علاقة تكافؤ على الخطوط. بما أن بديهيات الهندسة المرتبة كما هي معروضة هنا تشمل الخصائص التي تشير إلى بنية الأرقام الحقيقية ، فإن هذه الخصائص تتحول إلى هنا بحيث يكون هذا الأمر بمثابة إبداع هندسي للهندسة على مجال الأرقام الحقيقية.

حلقات ثلاثية المقال الرئيسي: حلقة ثلاثية مستو وقد لاحظ ديفيد هيلبرت أول طائرة غير ديسارجيسيان في كتابه أسس الهندسة . [14] طائرة مولتون هي رسم توضيحي قياسي. من أجل توفير سياق لهذه الهندسة وكذلك تلك التي تكون فيها نظرية Desargues صالحة ، تم تطوير مفهوم الحلقة الثلاثية.

يتم إنشاء الطائرات الفاسقة البدائية من أزواج مرتبة مأخوذة من حلقة ثلاثية. ويقال إن الطائرة لديها "صفة صغيرة عابرة Desargues" عندما اثنين من المثلثات في منظور متوازي ، مع وجود جانبين متوازيين ، ويجب أيضا أن يكون الجانبان الثالثان متوازيان. إذا كانت هذه الخاصية ممسكة في المستوى التقريبي البدئي المحدد بواسطة حلقة ثلاثية ، فهناك علاقة تكافؤ بين "المتجهات" المحددة بواسطة أزواج نقاط من المستوى. [15] علاوة على ذلك ، فإن المتجهات تشكل مجموعة أبيليان بالإضافة إلى ذلك ، الحلقة الثلاثية خطية ، وتفي بالتوزيع الصحيح:

( a + b ) c = ac + bc . التحولات الافريقية المقال الرئيسي: Affine transformation هندسيًا ، تحافظ التحولات الصريحة (الانتماءات) على العلاقة الخطية المتداخلة: بحيث يتم تحويل الخطوط المتوازية إلى خطوط متوازية والحفاظ على نسب المسافات عبر خطوط متوازية.

نحدد كمنظور نظريات أي نتيجة هندسية ثابتة في إطار المجموعة القاسية (في برنامج Erlangen في فيليكس كلاين هذه هي المجموعة الأساسية لتحولات التماثل للهندسة الإجبارية). النظر في الفضاء ناقل الخامس ، المجموعة الخطية العامة GL ( V ). إنها ليست المجموعة الكاملة لأننا يجب أن نسمح بالترجمة أيضًا عن طريق المتجهات v في V. (تقوم هذه الترجمة بترجمة أي w في V إلى w + v .) يتم إنشاء مجموعة affine من المجموعة الخطية العامة والترجمات وهي في الواقع منتج شبه تام {\ displaystyle V \ rtimes \ mathrm {GL} (V)} V \ rtimes {\ mathrm {GL}} (V) . (هنا نفكر في V كمجموعة تحت تشغيلها للإضافة ، ونستخدم التمثيل التمهيدي لـ GL ( V ) على V لتحديد منتج semidirect.)

على سبيل المثال ، تعتمد النظرية من الشكل الهندسي للمثلثات حول توافق الخطوط التي تربط كل رأس إلى نقطة الوسط للجانب المقابل (في النقطه الوسطى أو barycenter ) على مفاهيم النقطة الوسطى والنقطية الوسطى كمتطابقات عابرة. وتشمل الأمثلة الأخرى نظريات Ceva و Menelaus .

يمكن أن يساعد أيضًا إجراء الفحوصات المتأخرة في إجراء الحسابات. على سبيل المثال ، تشكل الخطوط التي تقسم مساحة المثلث إلى نصفين متساويين مغلفًا داخل المثلث. نسبة منطقة المغلف إلى مساحة المثلث هي ثابتة ، وبالتالي لا يحتاج الأمر إلا إلى حسابها من حالة بسيطة مثل وحدة مثلث متساوي الزاوية قائم الزاوية لإعطاء {\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ log _ {e} (2) - {\ tfrac {1} {2}}،} {\ tfrac {3} {4}} \ log _ {e} (2) - {\ tfrac {1} {2}}، أي 0.019860 ... أو أقل من 2٪ ، لكل المثلثات.

وبالمثل ، فإن الصيغ المألوفة ، مثل نصف الزيادات الأساسية التي يصل فيها الارتفاع لمنطقة المثلث ، أو الثلث من القاعدة التي يبلغ فيها ارتفاع حجم الهرم ، تقترب أيضًا من الثوابت. في حين أن هذا الأخير أقل وضوحا من السابق للحالة العامة ، فإنه يمكن رؤيته بسهولة لسدس وحدة المكعب المكونة من الوجه (المنطقة 1) ونقطة الوسط للمكعب (الارتفاع 1/2). ومن ثم فهي تحمل كل الأهرامات ، حتى تلك التي تميل إلى قمة التي لا تقع مباشرة فوق مركز القاعدة ، وأولئك الذين لديهم قاعدة متوازي الأضلاع بدلاً من مربع. وتعمم الصيغة كذلك الأهرامات التي يمكن تشريح قاعدتها إلى متوازيات متوازية ، بما في ذلك الأقماع عن طريق إتاحة متوازيات متوازية كثيرة (مع إيلاء الاهتمام اللازم للتقارب). يوضح نفس الأسلوب أن الهرم ذو الأبعاد الأربعة له حجم 4D ربع حجم ثلاثي الأبعاد لقاعدته المتوازية مع الارتفاع ، وهكذا للأبعاد الأعلى.

Affine space المقال الرئيسي: Affine space يمكن النظر إلى الهندسة الإجبارية على أنها هندسة لمساحة فاصلة ذات بُعد معين ، منسقة على حقل K. هناك أيضا (في البعدين) تعميم اندماجي للفضاء المعتمد المنسق ، كما تم تطويره في الهندسة المحدودة للهندسة . في الهندسة الإسقاطية ، تعني المساحة المصاحبة مكوِّن فرط الحركة في اللانهاية في مساحة إسقاطية . يمكن أيضًا اعتبار المساحة المتأثرة كمساحة ناقصة تقتصر عملياتها على تلك التركيبات الخطية التي يبلغ مجموع معاملاتها ، على سبيل المثال 2 x - y و x - y + z و ( x + y + z ) / 3 و i x + (1 - ط ) y ، إلخ.

ومن الناحية التركيبية ، فإن الطائرات الفاصلة هي أشكال هندسية ثنائية الأبعاد محددة من حيث العلاقات بين النقاط والخطوط (أو في بعض الأحيان ، في الأبعاد العالية ، الطائرات الفائقة ). تعريف الأشكال الهندسية (والإسقاطية) كتكوينات للنقاط والخطوط (أو الطائرات الفائقة) بدلاً من استخدام الإحداثيات ، يحصل المرء على أمثلة بدون حقول تنسيق. خاصية رئيسية هي أن كل هذه الأمثلة لها البعد 2. كانت الأمثلة المحدودة في البعد 2 ( طرز متناهية الصغر ) ذات قيمة في دراسة التكوينات في المساحات الضيقة اللانهائية ، في نظرية المجموعات ، وفي الدمجيات .

على الرغم من كونها أقل عمومية من النهج التكويني ، إلا أن المناهج الأخرى التي تمت مناقشتها كانت ناجحة جدًا في إلقاء الضوء على أجزاء الهندسة المتعلقة بالتناظر .

عرض إسقاطى في الهندسة التقليدية ، تعتبر الهندسة الوراثية بمثابة دراسة بين الهندسة الإقليدية والهندسة الإسقاطية . من ناحية ، الهندسة التقسيمية هي الهندسة الإقليدية مع انسداد التطابق ؛ من ناحية أخرى ، يمكن الحصول على الهندسة الإكليلية من الهندسة الإسقاطية عن طريق تعيين خط معين أو مستوى معين لتمثيل النقاط عند اللانهاية . [16] في الهندسة الإكلينيكية ، لا يوجد هيكل متري ، لكن الفرضية المتوازية تعقد. الهندسة القاعدية توفر الأساس للبنية الإقليدية عندما يتم تعريف الخطوط العمودية ، أو أساس هندسة Minkowski من خلال مفهوم التعامد الزائدي . [17] في وجهة النظر هذه ، يعد التحويل الأبجدي تحولا إسقاديا لا يفسر نقاط محددة بنقاط عند اللانهاية ، ويقصد به هندسة التحول هو دراسة الخواص الهندسية من خلال عمل مجموعة التحولات الصغرى.

انظر أيضا الهندسة غير الإقليدية المراجع

Artin، Emil (1988)، Geometric Algebra ، Wiley Classics Library، New York: John Wiley & Sons Inc.، pp. x + 214، ISBN 0-471-60839-4 ، MR 1009557 (إعادة طبع النسخة الأصلية لعام 1957 ؛ منشورات وايلي-انتريرسنس)
ميلر ، جيف. "أول استخدامات معروفة لبعض كلمات الرياضيات (أ)" .
Blaschke، Wilhelm (1954). Analytische Geometrie . بازل: Birkhauser. ص. 31.
Coxeter، HSM (1969). مقدمة في الهندسة . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ص. 191. ISBN 0-471-50458-0 .
Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912). "الزمانية النسبية لمدى الوقت. الهندسة اللا إقليدية للميكانيكا والكهرومغناطيسية" ، وقائع الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم 48: 387-507
Synthetic Spacetime ، وهو عبارة عن خلاصة من البديهيات المستخدمة ، وأثبتت النظريات ، من قبل ويلسون ولويس. المؤرشفة بواسطة WebCite
هرمن] [ويلّ] (1918) [ روم] ، [زيت] ، [متري] . 5 حفارات. إلى 1922 إد. مع ملاحظات بقلم Jūrgen Ehlers، 1980. trans. الطبعة الرابعة. Henry Brose، 1922 Space Time Matter ، Methuen، rept. 1952 دوفر. ISBN 0-486-60267-2 . انظر الفصل 1 §2 أسس الهندسة المؤثرة ، ص 16-27
ET Whittaker (1958). من إقليدس إلى إدينجتون: دراسة لمفاهيم العالم الخارجي ، منشورات دوفر ، ص. 130.
Graciela S. Birman & Katsumi Nomizu (1984). "علم المثلثات في هندسة لورنتزيان"، American Mathematical Monthly 91 (9): 543–9، Lorentzian affine plane: p. 544
Veblen 1918: p. 103 (الشكل) ، و p. 118 (تمرين 3).
Coxeter 1955، The Affine Plane ، § 2: Affine Geometry as a independent system
Coxeter 1955، Affine plane ، p. 8
Coxeter، Introduction to Geometry ، p. 192
ديفيد هيلبرت ، 1980 (1899). The Foundations of Geometry ، 2nd ed.، Chicago: Open Court، weblink from Project Gutenberg ، p. 74.
رافائيل أرتيزي (1965). الهندسة الخطية ، أديسون ويسلي ، ص. 213.
HSM Coxeter (1942). Non-Euclidean Geometry ، University of Toronto Press ، pp. 18، 19.
Coxeter 1942، p. 178