مبرهنة لاغرانج (نظرية الأعداد)

Question book-new.svg
تعرَّف على طريقة التعامل مع هذه المسألة من أجل إزالة هذا القالب.يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)

في نظرية الأعداد،مبرهنة لاغرانج سميت نسبة إلى عالم الفرنسي جوزيف-لويس لاغرانج حول إمكانية الحصول على قيم صحيحة من كثيرة حدود على فترة محددة. بشكل أكثر دقة على ما يلي:

إذا كان p عددا أوليا و متعددة حدود صحيحة معرفة على من الدرجة n ولا تساوي متعددة الحدود المنعدمة (أي على الأقل عامل من عواملها غير قابل للقسمة على p)، فإن المعادلة لها على الأكثر n حلاً في .

البرهانعدل

لتكن   كثيرة الحدود التي نحصل عليها بأخذ عوامل f(x) mod p. الآن (i) f(k) تقبل القسمة على p إذا وفقط إذا g(k) = 0؛ (ii) g(k)ليس لديها جذور أكثر من درجتها.

لاحظ بأن g(x) = 0 إذا وفقط إذا كل معامل من معاملات (f(x يقبل القسمة على p. لنفرض أن (g(x لا تساوي 0؛ بالتالي فإن درجتها معرفة. من السهل ملاحظة أن  . لإثبات (i)، يجب علينا أولاً حساب g(k) إما مباشرة بالتعويض بأحد البواقي k والقيام بالعمليات الحسابية   أو بأخذ f(k) mod p. بالتالي g(k)=0 إذا وفقط إذا f(k) mod p يساوي 0. مايعني إذا وفقط إذا (f(k تقبل القسمة على p.
وأخيراً لاحظ أن الحلين   ليسا متطابقين mod p إذا وفقط إذا  . . والآن بوضع كل ماتوصلنا إليه: عدد الحلول الغير متطابقة mod p من (i) يساوي عدد حلول (g(x، والذي من (ii) من درجة (f(x على الأكثر.

مراجععدل

  • LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. صفحة 42. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl = complete&q = an:1009.11001 1009.11001. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  • Tattersall, James J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters (الطبعة 2nd). مطبعة جامعة كامبريدج. صفحة 198. ISBN 0-521-85014-2. Zbl = complete&q = an:1071.11002 1071.11002. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)