افتح القائمة الرئيسية

مبرهنة بايز

علامة نيون زرقاء تظهر مبرهنة بايز

مبرهنة بايز (بالإنجليزية: Bayes' theorem) هي إحدى نتائج نظرية الاحتمالات الهامة التي تعطي التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي مع العلم بالمتغير العشوائي ، وذلك بدلالة التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي مع العلم ب والتوزع الاحتمالي للمتغيرين و .

أخذت المبرهنة هذا الاسم نسبة إلى توماس بايز الذي توصل إلى النتائج الأولية التي أستخدمت فيما بعد للحصول على المبرهنة بشكلها النهائي، فقد قام الرياضي الفرنسي لابلاس بإستخراج المعادلات المبنية على أساس الإحتمالات وهو الشكل النهائي الذي إنتشرت فيه هذه المبرهنة بعد ان قام بايز بكتابتها بالتكاملات.[1]

برهان مبدئي لمبرهنة بايزعدل

 
مجموعات جزئية من فضاء العينة S

لنفرض أن الأحداث   و  و  و  و  تشكل تجزيئا لفضاء العينة  . أي أن   و  و  و  و  مجموعات جزئية من فضاء العينة   متنافية مثنى مثنى (لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها, واجتماعها جميعها يشكل فضاء العينة بكامله). لنفرض أن حدثا ضمن فضاء العينة   (المنطقة المظللة) فإن :[2]

 

وبما أن   و  و  و  و  متنافية مثنى مثنى فإن الأحداث   متنافية أيضا مثنى :

 

باستخدام علاقة الاحتمال الشرطي :

 

مقولات مبرهنة بايزعدل

تقوم مبرهنة بايز بربط الاحتمالات الشرطية conditional والاحتمالات الحافية marginal probabilities, لكي نقوم باستنتاج هذه المبرهنة, لا بد لنا أن نبدأ من تعريف الاحتمال الشرطي:[3]

 

وهو ما يقرأ(جداء الاحتمال الشرطي ل   بمعرفة   في احتمال  ) يعطي احتمال حدوث   و  معا وهويساوي أيضا (جداء الاحتمال الشرطي ل   بمعرفة   في احتمال A).

باعتبار   ليس معدوما نقوم بقسمة طرفي المعادلة السابقة عليه:

 

وهونص ما يعرف عادة بمبرهنة بايز.

تقرأ : " الاحتمال الشرطي للحدث   بمعرفة الحدث   يساوي إلى احتمال   بمعرفة   مضروبا باحتمال   مقسوما على احتمال  . "

انظر أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ Jeffreys، Harold (1973). Scientific Inference (الطبعة 3rd). مطبعة جامعة كامبريدج. صفحة 31. ISBN 978-0-521-18078-8. 
  2. ^ Stuart، A.؛ Ord، K. (1994)، Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory، Edward Arnold، §8.7 .
  3. ^ Daniel Kahneman (25 October 2011). Thinking, Fast and Slow. Macmillan. ISBN 978-1-4299-6935-2. مؤرشف من الأصل في 21 نوفمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 08 أبريل 2012.