مبرهنة إيهرينفيست

مبرهنة إيهرينفيست سميت بهذا الاسم نسبة إلى بول إهرنفست,وهو عالم فيزياء نظرية نمساوي في جامعة لايدن,تتعلق باشتقاق الزمن للقيمة المتوقعة للموقع و كمية الحركة لمؤثر x و p على القيمة المتوقعة للقوة F = −dV/dx  لجسيم ضخم يتحرك بكمية عددية.

$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle ~.$

بحرية تامة يستطيع شخص إذا ان يقول ان القيمة المتوقعة لميكانيكا الكم تخضع لقوانين نيوتن للحركة (المبرهنات الفيزيائية الكلاسيكية) هذه العبارة تحتاج إلى بعض الضوابط، حيث أن مبرهنة ايهرينفيست هي حالة خاصة لعلاقة أكثر عمومية بين التوقع لاي مؤثر ميكانيكي كمي و التوقع لمعاكس هذا المؤثر مع نظام هاملتون.

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,$

حيث A هي مؤثر ميكانيكي كمي و ⟨A⟩ هي توقع للقيمة.هذه معادلة أكثر عمومية لم تستمد فعلياً من ايهرينفيست (هي بسبب فيرنر هايزنبرغ و هي أكثر وضوحا بتصور هايزينبرغ عن ميكانيكا الكم ,حيث هي مجرد توقع للقيمة من معادلات هايزنبيرغ للحركة.مثيتة رياضيا و مدعومة من مبدأ التوافق.

السبب ان معادلة إيهرينفيست هي قريبة جدا لنظرية يوفيل للميكانيك الهاملتوني ,و التي تضم قوس بواسون بدل المعاكس. قواعد ديراك للابهام تقترح ان العبارات التي بميكانيكا الكم و التي تضم توافق معاكس للعبارة بالميكانيكا الكلاسيكية حيث قوس بواسون حل محل المعاكس مضروبا بiħ

وهذا يجعل القيمة المتوقعة للمؤثر تخضع لمعادلات التوافق الكلاسيكية للحركة، قدمت الهاملتونية أكثر المعادلات التربيعية للإحداثيات و العزم.من ناحية أخرى، المعادلات المتطورة لازالت تحمل قيمة تقديرية، و لكنها قدمت تقلبات و تردد اقل.