قانون القيم المتوقعة الكلية

الافتراض في نظرية الاحتمالات المعروف باسم قانون التوقع الكلي ، قانون التوقعات المتكررة ( LIE ) ، وقانون آدم ، قاعدة البرج ، ونظرية التنعيم ، من بين أسماء أخرى ، تنص على أنه إذا $X$ هو متغير عشوائي قيمته المتوقعة $\operatorname {E} (X)$ يتم تعريفه و $Y$ هو أي متغير عشوائي على نفس فضاء احتمالي ، إذن

$\operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),$

على سبيل المثال ، القيمة المتوقعة للقيمة المتوقعة المشروطة لـ $X$ معطى $Y$ هي نفس القيمة المتوقعة لـ $X$ .

حالة خاصة واحدة تنص على أنه إذا ${\left\{A_{i}\right\}}_{i}$ هو قسم منتهي أو معدود من فضاء العينة ، إذن

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.$

ملاحظة: القيمة المتوقعة المشروطة E ( X | Z ) هي متغير عشوائي تعتمد قيمته على قيمة Z. لاحظ أن القيمة المتوقعة المشروطة لـ X بالنظر إلى الحدث Z = z هي دالة لـ z . إذا كتبنا E ( X | Z = z ) = g ( z ) فإن المتغير العشوائي E ( X | Z ) هو g ( Z ). تنطبق تعليقات مماثلة على التغاير الشرطي.

مثال

لنفترض أن هناك مصنعين فقط يزودان السوق بمصابيح كهربائية . مصنع $X$ تعمل المصابيح لمدة 5000 ساعة في المتوسط ، في حين أن المصنع $Y$ تعمل المصابيح لمدة 4000 ساعة في المتوسط. من المعروف أن المصنع $X$ تزود 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي المدة المتوقعة التي ستعمل فيها لمبة تم شراؤها؟

بتطبيق قانون التوقع الكلي ، لدينا:

${\begin{aligned}\operatorname {E} (L)&=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}$

بحيث أن:

• $\operatorname {E} (L)$ هي العمر المتوقع للمصباح ؛
• $\operatorname {P} (X)={6 \over 10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع $X$ ؛
• $\operatorname {P} (Y)={4 \over 10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع $Y$ ؛
• $\operatorname {E} (L\mid X)=5000$ هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة $X$ ؛
• $\operatorname {E} (L\mid Y)=4000$ هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة $Y$ .

وبالتالي فإن عمر كل مصباح كهربائي يتم شراؤه يبلغ 4600 ساعة.

الإثبات في الحالات المنتهية والمعدودة

دع المتغيرات العشوائية $X$ و $Y$ ، المعرفة على نفس فضاء الاحتمال ، تفترض مجموعة منتهية أو لا حصر لها من القيم المنتهية. افترض أن $\operatorname {E} [X]$ يتم تعريفه ، أي $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty$ . إذا $\{A_{i}\}$ هو قسم من فضاء الاحتمال $\Omega$ ، ومن بعد

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.$

برهان - إثبات.

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}$

إذا كانت السلسلة منتهية ، فيمكننا تبديل التجميعات ، وسيصبح التعبير السابق

${\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}$

من ناحية أخرى ، إذا كانت السلسلة لا نهائية ، فلا يمكن أن يكون تقاربها مشروطًا ، نظرًا لافتراض أن $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty .$ السلسلة تتقارب تمامًا إذا كان كلاهما $\operatorname {E} [X_{+}]$ و $\operatorname {E} [X_{-}]$ منتهية ، وتتباعد إلى ما لا نهاية عند أي منهما $\operatorname {E} [X_{+}]$ أو $\operatorname {E} [X_{-}]$ لانهائية. في كلا السيناريوهين ، يمكن تبادل الملخصات أعلاه دون التأثير على المجموع.

يترك $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ تكون فضاء احتمالية يكون فيها جبران فرعيان ${\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}$ يتم تعريفها. لمتغير عشوائي $X$ في مثل هذه الفضاء ، ينص قانون التنعيم على أنه إذا $\operatorname {E} [X]$ يتم تعريفه ، أي $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty$ ، ومن بعد

$\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.$

إثبات . نظرًا لأن التوقع المشروط هو أحد مشتقات Radon-Nikodym ، فإن التحقق من الخواص التالية يؤسس قانون التسوية:

• $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}$ - قابل للقياس
• $\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,$ للجميع $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.$

أول هذه الخصائص تحمل من خلال تعريف التوقع الشرطي. لإثبات الثانية ،

${\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}$

لذلك لا يتجزأ $\textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P}$ تم تعريفه (لا يساوي $\infty -\infty$ ).

وهكذا فإن الخاصية الثانية قائمة منذ ذلك الحين $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}$ يدل

$\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .$

اللازمة - النتيجة. في حالة خاصة عندما ${\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}$ و ${\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)$ ، فإن قانون التجانس يخفض إلى

$\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].$

برهان بديل ل $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].$

هذه نتيجة بسيطة لتعريف القياس النظري للتوقع المشروط . حسب التعريف، $\operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]$ هو $\sigma (Y)$ - متغير عشوائي قابل للقياس يرضي

$\int _{A}\operatorname {E} [X\mid Y]d\operatorname {P} =\int _{A}Xd\operatorname {P} ,$

لكل مجموعة قابلة للقياس $A\in \sigma (Y)$ . مع الأخذ $A=\Omega$ يثبت المطالبة.

إثبات صيغة التقسيم

${\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}$

حيث $I_{A_{i}}$ هي وظيفة المؤشر للمجموعة $A_{i}$ .

إذا كان التقسيم ${\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}$ منتهي ، إذن ، بالخطية ، يصبح التعبير السابق

$\operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),$

وانتهينا.

إذا ، ومع ذلك ، فإن القسم ${\{A_{i}\}}_{i=0}^{\infty }$ لانهائية ، ثم نستخدم مبرهنة التقارب المحدود لإظهار ذلك

$\operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).$

في الواقع ، لكل $n\geq 0$ و

$\left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\bigcup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.$

منذ كل عنصر من عناصر المجموعة $\Omega$ يقع في قسم معين $A_{i}$ ، فمن السهل التحقق من أن التسلسل ${\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }$ يتقارب بشكل نقطي إلى $X$ . بالافتراض الأولي ، $\operatorname {E} |X|<\infty$ . يؤدي تطبيق نظرية التقارب المهيمن إلى النتيجة المرجوة.

أنظر أيضا

• قانون الاحتمالات الكلية

مراجع

• Billingsley، Patrick (1995). Probability and measure. New York: John Wiley & Sons. ISBN:0-471-00710-2. (Theorem 34.4)
• Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)