بنية جبرية: الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [مراجعة غير مفحوصة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
ط قوالب الصيانة و/أو تنسيق باستخدام أوب (12021) |
تعديل تصنيفات: إزالة من تصنيف:رياضات |
||
سطر 1:
{{مقالة غير مراجعة|تاريخ=يوليو 2015}}
{{يتيمة|تاريخ=أغسطس 2015}}
تعرف البنية الجبرية في [[الرياضيات]] و بالخصوص في الجبر بأنها نوع من البنيات تتميز بكونها عبارة عن مجموعة عناصر مزودة [[بقوانين تركيب]] (عمليات) (او يمكن ان يكون قانون وحيد) معرفة عليها <ref>P.M. Cohn. (1981) Universal Algebra, Springer, p. 41.</ref> <br />
من أمثلة البنيات الجبرية [[زمرة|الزمرة]] و [[حلقة (رياضيات)|الحلقة]] و [[جسم(رياضيات)|الجسم]] بالإضافة الى [[فضاء متجهي|الفضاء المتجهي]]<ref>Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Applied Algebra and Functional Analysis, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67598-5</ref>
==[[قانون تركيب داخلي]] ==
===تعريف===
يرمز له عادة ب <math>*</math> أو <math>T</math> .
نسمي قانون او عملية تركيب داخلي كل تطبيق يربط عنصرين من نفس المجموعة بصورة ضمن تلك المجموعة بصفة عامة :
ليكن <math>x</math> و<math>y</math> من مجموعة <math>E</math> .
<math>*</math> قانون تركيب داخلي اذا كان : <br />
<math> \forall x,y \in E\colon x*y\in E </math><ref>عبد السلام حقاني و محمد غزايلي ,[[سلسلة ديما ديما]] , [[الجبر]] و [[الهندسة]] و الاحتمالات,ص:314</ref>
حيث <math>E</math> تسمى مجموعة مزودة ب[[قانون تركيب داخلي]] و نكتب <math>(E,*)</math><br />
===خاصيات===
====التجميعية====
القانون <math>*</math> تجميعي تكافئ:<br />
<math> x*(y*z) =(x*y)*z</math>
مثال: <math>(3+4)+5=3+(4+5)</math> <ref name="ReferenceA">عبد السلام حقاني و محمد غزايلي ,سلسلة ديما ديما , الجبر و الهندسة و الاحتمالات,ص:314</ref>
==مراجع==▼
====التبادلية====
القانون <math>*</math> تبادلي تكافئ:<br />
<math> x*y =y*x </math><br />
مثال: <math> 4X5=5X4</math><ref name="ReferenceA"/>
====العنصر المحايد====
نقول ان <math>e</math> عنصر محايد في <math>E</math> بالنسبة ل <math>*</math> إذا كان:
<math> x*e=e*x=x</math>
{{بذرة رياضيات}}▼
مثال : <math>0</math> بالنسبة ل <math>+</math> في المجموعة <math>\mathbb Z</math> .<br /><ref name="ReferenceA"/>
[[تصنيف:بنى جبرية]]▼
[[تصنيف:بنى رياضية]]▼
====المماثل====
<math>y</math>مماثل <math>x</math> في <math>(E,*)</math>
<math>*</math> يقبل عنصرا محايدا <math>e</math> في <math>E</math> <br />
و <math> x*y=y*x=e</math><ref name="ReferenceA"/>
==أمثلة لبعض البنيات الجبرية البسيطة==
===[[زمرة|الزمرة]]===
{{مفصلة|زمرة (رياضيات)}}
تكون <math> (G,*)</math> زمرة اذا تحققت الخاصيات الثلاث:
#<math> *</math> تجميعي و يقبل عنصرا محايدا.
#كل عنصر من <math>G</math> يقبل مماثلا بالنسبة للقانون <math>*</math> في <math>G</math>.
اذا كان <math>*</math> تبادليا فاننا نقول زمرة تبادلية.
[[ملف:Rubiks cube.jpg|تصغير|يسار|الأشكال التي يأخذهاٍٍ[[مكعب روبيك]] تكون زمرة.]]
===ال[[حلقة]]===
====التوزيعية====
التوزيعية هي قابلية نشر و تعميل القوانين مثال : الضرب توزيعي على الجداء لأن : <math> aX(b+c)=aXb+aXc </math> و العكس غير صحيح فالجمع ليس توزيعيا على الجداء بصفة عامة نقول إن القانون <math> T </math>توزيعي على القانون <math>*</math> إذا و فقط إذا تحقق التالي: <br />
<math> \forall x,y,z \in A \colon xT(y*z)=xTy*xTz , (y*z)Tx=yTx*zTx </math> <ref>الكتاب المدرسي للسنة الثانية باكالوريا علوم رياضية طبعة 2007,الجبر و الاحتمالات , الزمرة الحلقة , الجسم , [[المغرب]]</ref>
{{مفصلة|حلقة (رياضيات)}}
من البنيات الجبرية الأكثر شيوعا نجد الحلقات , و هي عبارة عن مجموعة كائنات رياضية مزودة بقانوني تركيب داخليين من أمثلة الحلقات الأكثر شهرة نجد مجموعة [[الأعداد الصحيحة]] النسبية<math>\mathbb Z</math>.<br />
الحلقة تحقق ما تحققه ال[[زمرة]] التبادلية بالنسبة لقانونها الأول, تتلخص شروط كون [[حلقة]] <math> (A,*,T)</math> كما يلي:
#<math> (A,*)</math> زمرة تبادلية.
#القانون <math> T </math> توزيعي على القانون <math>*</math> في <math>A</math>.
#القانون <math> T </math>تجميعي.
اذا كان <math> T </math> تبادليا نقول إن الحلقة تبادلية أما إذا كان له عنصر محايد فتسمى حلقة واحدية.<br />
في حلقة نسمي عادة <math>*</math> القانون الأول و نسمي <math> T </math> القانون الثاني نسمي كذلك العنصر المحايد بالنسبة للقانون الأول [[صفر]] الحلقة و يمكن الرمز له ب <math>0_A</math> و العنصر المحايد بالنسبة للقانون الثاني [[واحد]] أو [[وحدة]] الحلقة و نرمز له ب<math>1_A</math> و من أجل تسهيل ال[[حساب]] نرمز للقانون الأول ب <math>+</math> و الثاني ب<math>x</math> تبقى كل هذه التغييرات مجرد ترميزات و لا ينبغي لنا الخلط.<ref>الكتاب المدرسي للسنة الثانية باكالوريا علوم رياضية طبعة 2007,الجبر و الاحتمالات , الزمرة ,الحلقة , الجسم , [[المغرب]]</ref>
===الجسم===
الجسم عبارة عن [[حلقة]] واحدية تتحقق فيها القسمةأي أن كل عنصر ما عدا [[صفر]] ال[[حلقة]] له مماثل (يسمى أيضا متمم أو مقلوب أو مقابل ) من أمثلة الأجسام مجموعة [[الأعداد الحقيقية]] <math>\mathbb R</math> المزودة ب <math>X</math> و<math> +</math> <math>(R,+,X)</math> <br />
عموما فإن كل جسم <math>(C,*,T)</math> يحقق ما يلي:
# <math>(C,*,T)</math> حلقة واحدية .
# كل عنصر من المجموعة <math>C-{0_C}</math> يقبل مماثلا.
▲== مراجع ==
{{مراجع}}
| |||