توزيع هندسي

التوزيع الهندسي Geometric distribution وهو جزء من التوزيع الاحتمالي المتعلق بتجارب بيرنولي Bernoulli-Experiment، ويستخدم التوزيع الهندسي النموذج التالي: "كم عدد المحاولات التي نحتاجها للحصول على النتيجة المطلوبة؟"

Geometricpdf.jpg

إن التوزيع الهندسي يستخدم من أجل التوزيع التكراري للبيانات الكمية المنفصلة الثنائية من أجل معرفة احتمال ظهور المشاهدة W بعد k محاولة في التجربة المنفذة في فضاء عينة S ذو المشاهدات المعلومة Ai ذات قيم الاحتمال الثابتة والمعلومة Pi

.[1]

تعريفعدل

التوزيع الهندسي هو عدد التكرارات للتجربة للحصول على نجاح واحد فقط من تلك التجربة. فإذا كان المتغير X يشير إلى عدد مرات تكرار التجربة و P يشير إلى احتمال نجاح التجربة و q هو احتمال فشل التجربة وبالتالي فإن الدالة الاحتمالية لهذا التوزيع ستكون:

 

حيث أن ...,1,2,3=x

حيث أن   ,   ,   لجميع قيم x

 

وهذا يؤكد أن (f(x دالة احتمالية وقد سميت بالتوزيع الهندسي لان احتمالات قيم X المختلفة تناظر حدود متوالية هندسية.

يستخدم هذا التوزيع إذا كان هناك محاولات أو تجارب وتمثل X عدد هذه المحاولات حتى الحصول على أول نجاح. علما بأن احتمال النجاح P واحتمال الفشل في أي محاولة q=1-p فمثلا في فحص الإنتاج ربما تكون X عدد السلع المفحوصة حتى الحصول على أول تالفة . وكذلك في تجربة القاء قطعة النقود فربما تكون X عدد مرات القاء قطعة النقود حتى الحصول على صورة وكذلك عدد الولادات التي تضعها سيدة قبل أن ترزق بذكر .

مثالعدل

ليكن لدينا نرد متجانس (1,2,3,4,5,6,) ما هو احتمال ظهور الرقم 6 بعد 7 محاولات لالقاء النرد؟

الحل:

الاحتمالات الصحيحة (ظهور رقم 6): P = 1/6

الاحتمالات الخاطئة (عدم ظهور رقم 6): q=1-P = 5/6

يكون ظهور الحدث المطلوب بعد 7 محاولات، أي في المحاولة الثامنة وبالتالي: n=8

 

بتعويض المعطيات

 

 

أي أنه من كل 100 محاولة لرمي النرد توجد 8 مرات فقط، سيظهر الرقم 1 في المرة الثامنة (وليس قبل الثامنة) في 4.651 مرة من أصل المحاولات المائة.

دالة التوزيع التراكميةعدل

 
 

حيث أن ...,x=1,2,3

المنوالعدل

نلاحظ أن

 

أي أن الحدود المتتالية متناقصة . وهذا يعني أن أعلى احتمال هو عند X=1 وعلى ذلك فإن المنوال هو X=1

متوسط التوزيععدل

 
 
 

تباين التوزيععدل

نعلم أن

 


 


 

بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على

 


 
 

وبذلك يكون التباين

 

دالة توليد العزومعدل

 
 
 

و حيث أن

 
 
 
 
 

مثال:

احتمال إصابة هدف هو(0.4) ما احتمال إصابة هذا الهدف في المحاولة الرابعة.

الحل:

 

احتمال إصابة الهدف في المحاولة الرابعة معنى ذلك الفشل في الحاولات الثلاثة السابقة وعليه يكون الاحتمال :

 

مثال:

إذا كان احتمال ولادة ذكر في أي ولادة تمر بها سيده هو 1/3 أوجد

1- التوزيع الاحتمالي لعدد مرات الوضع قبل أن ترزق هذه السيده بذكر .

2- أوجد متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر.

3- ما احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين .

4- ما احنمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر.

الحل :

احتمال ولادة ذكر p= 1/3

X عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر

1- X تتبع توزيعا هندسيا بمعلمه P=1/3 وبذلك تكون دالته الاحتمالية هي

...,1,2,3=x

,. 

2-متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر هو μ حيث

 

3-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين هو (p(x=2 حيث

 

4-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر هو

 

المراجععدل

  1. ^ "معلومات عن توزيع هندسي على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 23 ديسمبر 2021.
  • الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد، نظرية الاحتمالات
  • المحاضرة ياسمينه أبو زيد الفقيه، مقدمة في نظرية الاحتمال

المصادرعدل