التكامل المعتل أو التكامل الموسع ، الصيغة الأساسية بأن يكون على أحد الشكلين التاليين:
النوع الأول من التكامل المعتل، حالة الفترة غير المحدودة. النوع الثاني من التكامل المعتل، حالة الدالة غير المحدودة.
lim
b
→
∞
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
,
lim
a
→
−
∞
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,}
أو
lim
c
→
b
−
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
,
lim
c
→
a
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,}
[1] [2] [3]
إذا كان لدينا تكامل الدالة
1
/
x
2
{\displaystyle 1/{x^{2}}}
∫
1
∞
1
x
2
d
x
=
lim
b
→
∞
∫
1
b
1
x
2
d
x
=
lim
b
→
∞
(
−
1
b
+
1
1
)
=
1.
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}
نستخدم Lim أو نهاية b إلى مالا نهايه، ونحول فترة التكامل من 1 إلى b ونكامل بالطريقة العادية
وفي حال كانت الإجابة رقم ثابت فهو تكامل تقاربي، أما إن كانت الإجابة موجب أو سالب مالا نهايه فالتكامل تباعدي.
عدل
لدينا تكامل معتل على الفترة (-∞,∞)
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
نقوم بتجزيئة إلى فترتين (-∞,0) و (0,∞) لينتج لدينا تكاملين منفصلين لنفس الدالة
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
+
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}
ثم نستخدم طريقة حل التكامل المعتل لكل فترة على حده
lim
a
→
−
∞
∫
a
0
f
(
x
)
d
x
+
lim
b
→
∞
∫
0
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{0}f(x)\,\mathrm {d} x+\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
عدل
باعتبار c هو عدد ثابت تكون الدالة غير معرفه عنده
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
يكون حل التكامل على الشكل
lim
b
→
c
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,}
مثال
لدينا 0 هنا هو c في الشرح السابق حيث تكون الدالة غير معرفه عنده 0
∫
0
1
1
x
d
x
=
lim
a
→
0
+
∫
a
1
1
x
d
x
=
lim
a
→
0
+
(
2
1
−
2
a
)
=
2.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}(2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {a}})=2.}
ونلاحظ علامة + فوق الصفر، لأن التكامل غير معرف عند أو تحت الصفر ولكنه معرف عند أي رقم آخر أكبر من 0
راجع كتاب مبادئ التفاضل والتكامل الجزء الثاني، د.صالح السنوسي وآخرون، جامعة الملك سعود بالرياض، دار الخريجي للنشر والتوزيع
