افتح القائمة الرئيسية
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)

نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .

الإثباتعدل

في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو

 

حيث

  هو الجهد الكهربائي .

  هو المجال الكهربي .

ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .

نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما   و   , و   هو الفرق بين قيمة الحلين   .

وبما أن   و   تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها   .

 

وباستخدام التعريف

 

وعند الأخذ في الإعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

 

وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :

 

وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

 

حيث

  هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .

وبما أن

  و  

إذا

  يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان , وتكون   .

وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون

 

بشرط أن يكون :

  1.   معرفة على كل حدود السطح , وتكون   , وبالتالي تصبح   .
  2.   معرفة على كل حدود السطح , وتكون   , وبالتالي تصبح   .
  3. أن تحقق   قانون جاوس

انظر أيضاعدل

المصادرعدل

  • L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1975). The Classical Theory of Fields. Butterworth–Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9. 
  • J. D. Jackson (1998). Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.