مبرهنة الفردية

(بالتحويل من نظرية الفردية)

نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .[1]

الإثباتعدل

في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو

 

حيث

  هو الجهد الكهربائي .

  هو المجال الكهربي .

ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .

نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما   و   , و   هو الفرق بين قيمة الحلين   .

وبما أن   و   تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها   .

 

وباستخدام التعريف

 

وعند الأخذ في الاعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

 

وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :

 

وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

 

حيث

  هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .

وبما أن

  و  

إذا

  يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان، وتكون   .

وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون

 

بشرط أن يكون :

  1.   معرفة على كل حدود السطح، وتكون   , وبالتالي تصبح   .
  2.   معرفة على كل حدود السطح، وتكون   , وبالتالي تصبح   .
  3. أن تحقق   قانون جاوس

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن مبرهنة الفردية على موقع academic.microsoft.com". academic.microsoft.com. مؤرشف من الأصل في 21 أكتوبر 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

انظر أيضاعدل