المعادلة من الدرجة الأولى عدل حل المعادلة:
a
x
+
b
=
0
{\displaystyle ax+b\,=0}
x
=
−
b
a
{\displaystyle x={\frac {-b}{a}}}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0\,}
ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا:
2س+5=10
لحلها نقوم أولا بالتخلص من الحد الثابت وذلك بإضافته معكوسه الجمعي إلى الطرفين، فيصبح لدينا
2س+5-5=10-5 أي 2س=5
بعدها نضرب الطرفين في المعكوس الضربي لمعامل س (أو ببساطة قسمة كلا الطرفين على الرقم الموجود أمام س وهو (2)) وبهذا نحصل على س=2.5
المعادلة من الدرجة الثانية عدل لحل المعادلة:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle {\mathcal {}}ax^{2}+bx+c\,=0}
Δ
{\displaystyle {\mathcal {}}\Delta }
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}
x
1
=
−
b
−
Δ
2
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
x
2
=
−
b
+
Δ
2
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
المعادلة من الدرجة الثالثة عدل القانون العام للجذور عدل تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة، ا س3 + ب س2 + حـ س + د =0 ،
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d\,}
x
1
=
−
b
3
a
−
1
3
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
+
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
−
1
3
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
−
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
x
2
=
−
b
3
a
+
1
+
i
3
6
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
+
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
+
1
−
i
3
6
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
−
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
x
3
=
−
b
3
a
+
1
−
i
3
6
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
+
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
+
1
+
i
3
6
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
−
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}
طريقة كاردان عدل طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطاة بدلالة
p
{\displaystyle {\mathcal {}}p}
q
{\displaystyle {\mathcal {}}q}
x
3
+
p
x
+
q
=
0
{\displaystyle {\mathcal {}}x^{3}+px+q=0~}
صيغ كاردان عدل بالنسبة للمعادلة:
x
3
+
p
x
+
q
=
0
{\displaystyle {\mathcal {}}x^{3}+px+q=0\,}
Δ
=
4
p
3
+
27
q
2
{\displaystyle \Delta =4p^{3}+27q^{2}\,}
نضع
u
=
−
27
q
+
3
3
Δ
2
3
{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-27q+3{\sqrt {3}}{\sqrt {\Delta }}}{2}}}}
v
=
−
27
q
−
3
3
Δ
2
3
{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\frac {-27q-3{\sqrt {3}}{\sqrt {\Delta }}}{2}}}}
الحل الوحيد الحقيقي هو
x
1
=
1
3
(
u
+
v
)
{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{3}}(u+v)}
و حلان عقديان مترافقان :
x
2
=
1
3
(
j
u
+
j
¯
v
)
{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{3}}(ju+{\bar {j}}v)}
x
3
=
1
3
(
j
¯
u
+
j
v
)
{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{3}}({\bar {j}}u+jv)}
حيث
j
=
−
1
2
+
i
3
2
=
e
i
2
π
3
{\displaystyle j=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}}
يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل
−
27
q
+
3
i
3
−
Δ
2
{\displaystyle {\frac {-27q+3i{\sqrt {3}}{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}
المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:
x
1
=
1
3
(
u
+
u
¯
)
{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{3}}(u+{\bar {u}})}
x
2
=
1
3
(
j
u
+
j
¯
u
¯
)
{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{3}}(ju+{\bar {j}}{\bar {u}})}
x
3
=
1
3
(
j
2
u
+
j
2
¯
u
¯
)
{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{3}}(j^{2}u+{\bar {j^{2}}}{\bar {u}})}
تفسير الطريقة عدل الصيغة المختصرة عدل نعتبر الصيغة العامة للمعادلة:
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}
نضع:
x
=
z
−
a
2
3
a
3
{\displaystyle x=z-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}
z
3
+
p
z
+
q
=
0
{\displaystyle \qquad z^{3}+pz+q=0}
z
=
u
+
v
{\displaystyle \qquad z=u+v}
(
u
+
v
)
3
+
p
(
u
+
v
)
+
q
=
0
{\displaystyle \qquad (u+v)^{3}+p(u+v)+q=0}
u
3
+
v
3
+
(
3
u
v
+
p
)
(
u
+
v
)
+
q
=
0
{\displaystyle \qquad u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0}
3
u
v
+
p
=
0
{\displaystyle \qquad 3uv+p=0}
u
3
+
v
3
+
q
=
0
{\displaystyle \qquad u^{3}+v^{3}+q=0}
u
v
=
−
p
3
{\displaystyle \qquad uv=-{\frac {p}{3}}}
u
3
v
3
=
−
p
3
27
{\displaystyle \qquad u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}}
u
3
{\displaystyle {\mathcal {}}u^{3}}
v
3
{\displaystyle {\mathcal {}}v^{3}}
u
3
+
v
3
=
−
q
{\displaystyle \qquad u^{3}+v^{3}=-q}
u
3
v
3
=
−
p
3
27
{\displaystyle \qquad u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}}
u
3
{\displaystyle {\mathcal {}}u^{3}}
v
3
{\displaystyle {\mathcal {}}v^{3}}
X
2
+
q
X
−
p
3
27
=
0
{\displaystyle X^{2}+qX-{\frac {p^{3}}{27}}=0}
المعادلة من الدرجة الرابعة عدل طريقة فيراري عدل نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة:
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}
نقسم على
a
4
{\displaystyle a_{4}\,}
x
=
z
−
a
3
4
a
4
{\displaystyle \qquad x=z-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}
لنصل إلى معادلة على صيغة :
z
4
+
p
z
2
+
q
z
+
r
=
0
{\displaystyle \qquad z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}
معادلة تكتب:
z
4
+
r
=
−
p
z
2
−
q
z
{\displaystyle \qquad z^{4}+r=-pz^{2}-qz}
نضيف
2
z
2
r
{\displaystyle \qquad 2z^{2}{\sqrt {r}}}
لطرفي المتساوية. فنحصل على:
z
4
+
2
z
2
r
+
r
=
2
z
2
r
−
p
z
2
−
q
z
{\displaystyle \qquad z^{4}+2z^{2}{\sqrt {r}}+r=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz}
نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:
(
z
2
+
r
)
2
=
2
z
2
r
−
p
z
2
−
q
z
{\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz}
من هاته النتيجة الأخيرة, نقوم بالنشر :
(
z
2
+
r
+
y
)
2
=
(
z
2
+
r
)
2
+
2
y
(
z
2
+
r
)
+
y
2
{\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}}
(
z
2
+
r
+
y
)
2
=
2
z
2
r
−
p
z
2
−
q
z
+
2
y
(
z
2
+
r
)
+
y
2
{\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}}
(
z
2
+
r
+
y
)
2
=
(
2
r
−
p
+
2
y
)
z
2
−
q
z
+
2
y
r
+
y
2
{\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(2{\sqrt {r}}-p+2y)z^{2}-qz+2y{\sqrt {r}}+y^{2}}
الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.
الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية
z
{\displaystyle {\mathcal {}}z}
q
2
−
4
(
2
r
−
p
+
2
y
)
(
2
y
r
+
y
2
)
=
0
{\displaystyle \qquad q^{2}-4(2{\sqrt {r}}-p+2y)(2y{\sqrt {r}}+y^{2})=0}
الشيء الذي يعطي, عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة
y
{\displaystyle {\mathcal {}}y}
8
y
3
+
4
(
6
r
−
p
)
y
2
+
8
(
2
r
−
p
r
)
y
−
q
2
=
0
{\displaystyle \qquad 8y^{3}+4(6{\sqrt {r}}-p)y^{2}+8(2r-p{\sqrt {r}})y-q^{2}=0}
نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد
y
0
{\displaystyle {\mathcal {}}y_{0}}
المعادلة من الدرجة الخامسة فما فوق عدل انظر إلى دالة خماسية وإلى مبرهنة آبل
طرق رقمية لحل معادلات كثيرة الحدود عدل انظر أيضاً عدل 
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8fdcb363d20258b4ec96f33fc248aae912c9ff)
![u={\sqrt[ {3}]{{\frac {-27q+3{\sqrt {3}}{\sqrt {\Delta }}}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f293e2c72a6dca358e25771e8d5772f96450ed)
![v={\sqrt[ {3}]{{\frac {-27q-3{\sqrt {3}}{\sqrt {\Delta }}}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c119311af2eb68f5761fd2c55129dedb70a64b2e)
