معادلات كوشي-ريمان

في الرياضيات، معادلات كوشي-ريمان التفاضلية (بالإنجليزية: Cauchy–Riemann equations)‏ في التحليل العقدي تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي وعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان.[1][2][3] تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية

معادلات كوشي-ريمان لدالتين قيمهما حقيقيتان، لكل واحدة منهما متغيران اثنان (u(x,y و (v(x,y، هما المعادلتان التاليتان:

و

عادة ما يتم اعتبار u وv جزءًا حقيقيًا وخياليًا على التوالي لدالة مركبة القيمة لمتغير مركب واحد

افترض ان u وv دوال قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجموعة جزئية مفتوحة من , والتي ممكن اعتبارها دالة من إلى ، فإن هذا يؤدي إلى أن المشتقة الجزئية ل u , v موجودة (على الرغم من انها لا تحتاج ان تكون متصلة).

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند النقطة ، فإن المشتقات الجزئية لكلا من u و v موجودة عند النقطة وتحقق معادلات كوشي -ريمان.

مثال عدل

افترض أن الدالة   ، حيث  ، هي دالة قابلة للاشتقاق عند أي نقطة  

 

فيكون الجزء الحقيقي هو:   حيث  

والجزء التخيلي هو:   حيث  

ومشتقاتهم الجزئية هي:

 
 
 .
 .

ويلاحظ تحقق شروط معادلات كوشي-ريمان:

 .
 .

مراجع عدل

  1. ^ "معلومات عن معادلات كوشي-ريمان على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
  2. ^ "معلومات عن معادلات كوشي-ريمان على موقع catalogue.bnf.fr". catalogue.bnf.fr. مؤرشف من الأصل في 2019-07-20.
  3. ^ "معلومات عن معادلات كوشي-ريمان على موقع idref.fr". idref.fr. مؤرشف من الأصل في 2019-07-24.