مستخدم:Shimaa.m/التحليل الدالى

مقدمة

ماهو التحليل الدالى

فرع من فروع الرياضيات التى ظهرت في القرن التاسع عشر والسبب هو وجود عدد لانهائى من المعادلات الخطية التى لم يكن من السهل الحصول على حلول لها بمساعدة الجبر الخطى فقط وهنا قام العلماء بمزج علمى

الجبر الخطى والتحليل لمحاولة ايجاد حلول لهذه المعادلات ومن ثم بدأ الكثير من العلماء البحث في هذا العلم والعمل على تطويره ومن

أمثلة هؤلاء العلماء : ستيفان بناخ Banach ,فريشيه Fréchet, هيلبرت Hilbert واخرون .... .

من المواضيع الهامة في هذا العلم: فضاء بناخ, فضاء هيلبرت , النظريات الاساسيةفى التحليل الدالى.

نشأة التحليل الدالى

لكى نستطيع فهم الافكار التى ادت إلى علم التحليل الدالى فانه من المهم تلخيص التطور الذى حدث في الجبر الخطى في القرن 19 وهو كما يلى :

في بداية القرن 19 كانت دراسة مجموعة من المعادلات الخطية في اى عدد من المتغيرات (سواء كانت المعاملات حقيقيةاو مركبة) يقتصر على الحالة التى يكون فيها

عدد المتغيرات مساو لعدد المعادلات ؛ ولقد أعطت "صيغ كرامر Cramer's formulas " حل وحيد في حالة ان يكون محدد المجموعة ليس صفراً , ولكن لم

توجد الكثير من الجهود لايجاد الحلول في حالات الاخرى , وكانت النتيجة الوحيدة التى تستخدم في بعض الاحيان على وجود نظام من m معادلة متجانسة

في n>m متغير دائما لها حلول ليست بتافهة .

في نهاية القرن 19 كانت النتائج الاساسية للجبر الخطى قد وجدت ولكن لم يتم التعبير عنها بشكل كاف وواضح . وهذا لم يساعد على تعميم الجبر الخطى في

الفضاءات اللانهائية الابعاد التى قدمها التحليل الدالى اثناء تطويره , وكان التطور التاريخى (تماما كما للجبر الخطى في الفضاءات النهائية الابعاد)

هو بالظبط الترتيب العكسى لما نعتبره الان الترتيب المنطقى (كان الترتيب قديما هو : اولا المعادلات الخطية , المحددات , الاشكال شبه خطية , المصفوفات

واخيرا الفضاء الاتجاهى و الرواسم الخطية)

حل مجموعات لانهائية من المعادلات الخطية

"كانت هذه أول خطوة في انشاء التحليل الدالى ويبدو ان أول ظهور لها حدث في دراسة "جوزيف فورييه, Joseph Fourier" لنظرية الحرارة في عام 1811 ,

فلقد كان عليه ان يحدد متتابعة لا نهائية a_m)_m>=1) من المعاملات بحيث ان العلاقة :

$\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}\cos(2m-1)y$ تكون متحققة لكل y" .

فكرة "فورير" هى ان يقوم باشتقاق كلا من طرفى العلاقة السابقة ثم يقوم بأخذ قيمهم عند y=0 وهذا اعطاه مجموعة لانهائية من

المعادلات الخطية لـ $\ a_{m}$ ولحل هذه المجموعة , اخذ أول K معادلة التى قام فيها باستبدال $\ a_{m}$ لـ m > K بالصفر

؛ ثم قام بحل هذه المجموعة الجديدة باستخدام "صيغ كرامر" و كانت النتيجة مجموعة من k رقم على شكل a_i^(K) ; i=1,2,... ,K

ثم ترك k تؤول إلى $\ \infty$ في كل من ^(K)$\ a_{m}$ لـ m ثابتة . باستخدام " محددات فاندرموند Vandermonde determinants "

حصل على $\ a_{m}=(-1)^{m-1}{\frac {4}{\pi }}(2m-1)$ , وبالطبع كان "فورييه" قادر على ان يتأكد ان قيم a_m .لكنه لم يكلف

نفسه عناء اعطاء اى مبرر لطريقته هذه حيث ان جميع اسئلة التقارب تم تجاهلها تماما ; و تلك الطريقة بمكن ان تتكرر لأى مجموعة لانهائية $\sum _{k=1}^{\infty }a_{jk}x_{k}=b_{j}(j=1,2,3,...)$ لكن لا احد قام بتفسيرها قبل 1885 .

فيما بعد قام العديد من العلماء بتطوير فكرة فورييه ومنهم : هلج فون كوخ George William Hill , Henri Poincaré , Helge Von Koch ....

واخرون.فلقد كانت طريقة فورييه ليست دقيقة و نجاحه اعتمد على حقيقة ان المعاملات $\ a_{jk},b_{j}$ كانت لها قيم مناسبة كما

تبين بشكل مقنع من خلال المثال التالى الذى اتى به الأمريكى ادوارد هيللى , Eduard Helly  :

$\ x_{1}$ + $\ x_{2}$ + $\ x_{3}$ + ... = 1,

$\ x_{2}$ + $\ x_{3}$ + ... = 1,

$\ x_{3}$ + ... = 1,

$\ :$

$\ :$

فإن المجموعة المكونة من أول n معادلة لها الحل $\ x_{k}=0(k<n),x_{n}=1$ لكل n ; ولكن مجموعة المعادلات التى في المثال السابق

ليس لها الحل $\ x_{k}=0(k=1,2,...)$ , و في الحقيقة هذه المجموعة ليس لها حل .

ومع ذلك فان فكرة فورييه المثبتة كانت مثمرة , فلقد استخدمها G.W.Hill في دراسته لحركة القمر عام 1877 , كما فعل ايضاهنرى بوانكاريهHenri Poincaré و هيلج فون كوخ Helge Von Koch

"ڤيتو ڤولتيرا , Vito Volterra" وتحويل المعادلات التكاميلة إلى مجموعات لا نهائية من المعادلات الخططية

"المعادلات التكاملية" اصبحت ذات اهمية في نظرية الجهد اثناء عمل الفيزيائى A.Beer عام 1856 و Carl Neumann عام 1877 .

لقد عَلِم بير,Beer ان المعادلة التكاملية من النوع الثانى $\ f(s)=x(s)+\int _{a}^{b}{k(s,t)x(t)}\,dt$ حيث : x,f دوال

متصلة و x مجهولة , يمكن التعامل معها من خلال ما يسمى بمتسلسلات نيومان, Neumann المعتمدة على طريقة التقريب المتتالى المعروفة منذ أوغستين لوي كوشي Augustin Louis Cauchy .

قام ڤولتيرا بتطبيق طريقة التقريب المتتالى في مقالاته الاربعة في المعادلات التكاملية عام 1896 , حيث نجح في حل معادلات تكاملية معينة مع حدود علوية

متغيرة في التكاملات التى كانت حالات خاصة من المعادلة التكاملية السابقة .

كان فولتيرا في 1896 أول من اشار إلى امكانية التعامل مع المعادلات التكاملية كحالات محدودة من مجموعة لانهائية من المعادلات الخطية , فهو من أسس

الاتصال بين اتجاهين مختلفين حتى الان في التفكير الرياضى وهما المعادلات التكاملية و مجموعة من المعادلات الخطية .