مستخدم:Mo Mazen/ملعب

النوَّاسُّ النابض (البندول النابض)

النوّاسُّ النابِض (ويُسمى أيضًا النابض المُتَمرجِِح) هو عبارة عن نظامٍ فيزيائيّ يتكوّّنُ من قطعةٍ ذاتِ كتلةٍ متصلةٍ بنابضٍ مُعلقٍ كنوَّاسٍ (أو كبَندول) مُتحرك؛ فتكون الحركةُ الناتجة مكوّنةً من نوعين: حركة نَوّاس بسيط، وحركة نابض في بُعد واحد. وبالتالي، فإن هذا النظام لديه درجتان حرية تتفاعلان مع بعضها وتؤثر كل منهما في الأخرى، وهما: درجة الحرية التي تمثل حركته الخطية على امتداد النابض، ودرجة الحرية التي تمثل الزاوية التي يصنعها هذا النظام كبندول بسيط؛ فترى حركة درجة الحرية الأولى تؤثر على الثانية، والثانية كذلك تؤثر على الأولى، مُشَكِلَةً نظامًا معقدًا بعض الشيء قد يصعب حلّه باستخدام الطرق التقليدية.

وهذا النظام يعد حساسًا جدًا للحالة البدائية للجسم، أي أنه قد يسلك سلوكًا فوضويًّا.

محاكاة لحركة نظام النوّاس النابض (أو النابض المٌتَأرجٍح).

تحليل حركة نظام النواس النابض رياضيًّا.

نظام النواس النابض يحتوي على درجة من التعقيد تجعله صعب التحليل باستخدام قوانين نيوتن في الحركة -القانون الثاني تحديدًا-، ولذلك يُستخدم ميكانيك لاغرانج لتحليل هذا النظام، وكون هذا النظام مكون من درجتي حرية، فإننا بحاجة لتطبيق معادلة لاغرانج مرتان، مرة لكل درجة حرية.

النابض لديه طول ابتدائيّ $l_{0}$، ويمكن أن يُمدد بمسافة $x$. والزاوية التي يتردد فيها النوّاس هي $\theta$.

معادلة لاغرانج تُعطى بالصيغة:

$L=T-V$

إذ تُمثل $T$ الطاقة الحركية للنظام، وتمثل $V$ طاقة الوضع للنظام.

قانون هوك يمثل طاقة الوضع للنابض:

$V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}$

إذ تمثل $k$ ثابت النابض.

أما طاقة وضع الجاذبية، فتُحدد بارتفاع الكتلة المُعَلَّقة؛ فتكون طاقة الوضع للإزاحة الزاوية والإزاحة:

$V_{g}=-gm(l_{0}+x)\cos \theta$

إذ تمثل $g$ ثابت تسارع الجاذبية.

والطاقة الحركية تُعطى بالعلاقة:

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}$

إذ أن $v$ هي سرعة الكتلة على امتداد النابض.

وللربط بين $v$ مع المتغيرات الأخرى: نحلل السرعة إلى مركباتها العمودية والأفقية:

$T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})$

وبالتالي، تكون معادلة لاغرانج:

$L=T-V_{k}-V_{g}$

$L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0}+x)\cos \theta$

معادلات الحركة

للحضول على معادلات الحركة، نقوم باستخدام "معادلة أويلر-لاجرانج"، وبما أن لدينا درجتي حريّة في هذا النظام (وهما $x$ و $\theta$)، إذن علينا أن نستخدم هذه المعادلة مرتين، مرة لكل درجة حُرية.

${\partial L \over \partial x}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0$

${\partial L \over \partial \theta }-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}=0$

لدرجة الحرية $x$:

$m(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0$

وبما أن ${\ddot {x}}$ معزولة:

${\ddot {x}}=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta$

أما لدرجة الحرية $\theta$:

$-gm(l_{0}+x)\sin \theta -m(l_{0}+x)^{2}{\ddot {\theta }}-2m(l_{0}+x){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0$

وبما أن ${\ddot {\theta }}$ أيضا معزولة:

${\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}$

وبهذا يكون لدينا معادلتي الحركة للنواس النابض، واللتان تمثلان معادلتين تفاضليتين عاديتين مرتبطان ببعضهما البعض، ويمكن حلهم بطرق عددية -أي حلهم عدديًا-. ويمكن بشكل عام دراسة سلوك هاتين المعادلتين بحسب قوانين الفيزياء الكلاسيكية.