مستخدم:Dr-Taher/مرشح باترورث

مرشح باتروورث Butterworth filter هو نوع من مرشحات معالجة الإشارات تهدف إلى الحصول على استجابة التردد مسطحة قدر الإمكان في نطاق المرور. كما يشار إليه أنه أكبر مرشح مسطح. وقد ذُكر لأول مرة في عام 1930 من قبل المهندس وعالم الفيزياء البريطاني ستيفن باتروورث في ورقته البحثية بعنوان "نظرية مرشحات مكبرات الصوت".

الورقة الأصلية

حاز باتروورث سمعة طيبة في حل المشاكل الرياضية "المستحيلة". في ذلك الوقت، كان تصميم مرشح يتطلب قدرا كبيرا من الخبرة للمصمم بسبب القيود المفروضة على النظرية المستخدمة. ولم تكن المرشحات شائعة الاستخدام لأكثر من 30 عاما بعد نشره. ذكر باتروورث أن:

"المرشح الكهربي المثالي يجب ألا يقتصر على منع الترددات غير المطلوبة فقط ولكن يجب أيضا أن يكون له حساسية موحدة لكل الترددات المطلوبة."

هذا المرشح المثالي لا يمكن أن يتحقق إلا أن باتروورث أوضح أن عمليات التقريب المتتالية يتم الحصول عليها بزيادة أعداد المرشحات من القيم الصحيحة. في ذلك الوقت، كانت المرشحات تولد تموجات كبيرة في منطقة المرور، وكان اختيار قيم العناصر تفاعليا بدرجة كبيرة. أوضح باتروورث أنه يمكن تصميم مرشح تمرير منخفض تم تطبيع تردد قطعه إلى 1 راديان في الثانية وكانت استجابة تردده (كسب) هي:

$G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\omega }^{2n}}}},$

حيث ω هو التردد الزاوي في راديان في الثانية و n هو عدد البولنديين في تصفية يساوي عدد من العناصر المتفاعلة في السلبي التصفية. إذا ω = 1, السعة استجابة من هذا النوع من التصفية في passband 1/√2 ≈ 0.707 ، وهو نصف الطاقة أو −3 dB. Butterworth فقط التعامل مع الفلاتر مع عدد من أعمدة في ورقة. وقال انه قد يكون على علم بأن هذه الفلاتر يمكن أن تكون مصممة مع عدد فردي من القطبين. وبنى له أعلى ترتيب المرشحات من 2-القطب المرشحات يفصل بينهما فراغ أنبوب مكبرات الصوت. كيده استجابة التردد من 2, 4, 6, 8, 10 القطب المرشحات يظهر مثل A ، B ، C ، D ، E في بلده الأصلي الرسم البياني.

Butterworth حل المعادلات اثنين وأربعة القطب المرشحات ، تبين كيف أن هذا الأخير يمكن تحويلها عندما يفصل بينهما فراغ أنبوب مكبرات الصوت وبالتالي تمكين بناء العليا المرشحات على الرغم من محث الخسائر. في عام 1930 ، منخفضة فقدان المواد الأساسية مثل molypermalloy لم يتم اكتشافها و الهواء محفور الصوت لفائف بدلا من الضياع. Butterworth اكتشفت أنه كان من الممكن لضبط القيم المكونة مرشح لتعويض لف المقاومة من لفائف.

وقال انه يستخدم لفائف أشكال 1.25" قطر 3" طول مع المكونات في المحطات. المرتبطة المكثفات و المقاومات ترد داخل الجرح شكل لفائف. لفائف شكلت جزء من لوحة الحمل المقاوم. اثنين من أقطاب استخدمت في فراغ أنبوب RC اقتران كانت تستخدم الشبكة التالية أنبوب.

Butterworth أظهرت أيضا أن الأساسية مرشح تمرير منخفض يمكن تعديلها لإعطاء تمرير منخفض, تمريرة عالية, الفرقة تمرير و الفرقة توقف وظائف.

نظرة عامة

فإن يبشر مؤامرة من الدرجة الأولى Butterworth مرشح تمرير منخفض

استجابة التردد من Butterworth مرشح الحد الأقصى شقة (أي لا تموجات) في passband وفات باتجاه الصفر في stopband. عندما ينظر اليها على لوغاريتمي يبشر المؤامرة ، استجابة المنحدرات قبالة خطيا نحو السلبية ما لا نهاية. الدرجة الأولى تصفية رد لفات قبالة في -6 dB في اوكتاف (-20 dB في العقد) (كل من أم بي المرشحات لها نفس تطبيع استجابة التردد). ثانيا-من أجل تصفية النقصان في -12 dB في اوكتاف, ثالث ترتيب 18 ديسيبل. Butterworth مرشحات مفردة النغمة تغيير حجم وظيفة مع ω ، على عكس غيرها من أنواع التصفية أن يكون غير رتيب تموج في passband و/أو stopband.

مقارنة مع Chebyshev النوع/من النوع الثاني تصفية أو تصفية الاهليلجيه ، Butterworth مرشح لديه أبطأ لفة قبالة ، وبالتالي تتطلب أعلى لتنفيذ معين stopband مواصفات, ولكن Butterworth مرشحات المزيد من المرحلة الخطية الاستجابة في تمرير النطاق من Chebyshev النوع/من النوع الثاني الاهليلجيه المرشحات يمكن تحقيقه.

على سبيل المثال

نقل وظيفة من الدرجة الثالثة تمرير منخفض Butterworth تصميم فلتر هو مبين في الشكل على اليمين يبدو مثل هذا:

${\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {R}{s^{3}(L_{1}C_{2}L_{3})+s^{2}(L_{1}C_{2}R)+s(L_{1}+L_{3})+R}}.$

ثالث ترتيب مرشح تمرير منخفض (Cauer طوبولوجيا). مرشح يصبح Butterworth فلتر مع تردد قطع ω_c=1 عندما (على سبيل المثال) ج₂=4/3 فاراد R₄=1 أوم, L₁=3/2 هنري ل₃=1/2 هنري.

مثال بسيط Butterworth مرشح ثالث من أجل تمرير منخفض التصميم هو مبين في الشكل على اليمين ، مع ج₂ = 4/3 F, R₄ = 1 Ω, L₁ = 3/2 H و L₃ = 1/2 هـ. أخذ مقاومة من المكثفات ج 1/(Cs) و مقاومة من لفائف L إلى سورية ، حيث s = σ + jω هو مجمع تردد الدائرة المعادلات تسفر عن نقل وظيفة هذا الجهاز:

حجم استجابة التردد (كسب) ز(ω) تعطى من قبل

$G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{6}}}},$

التي تم الحصول عليها من

$G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}=H(j\omega )\cdot H^{*}(j\omega )={\frac {1}{1+\omega ^{6}}},$

و المرحلة تعطى من قبل

كسب فريق تأخير من الدرجة الثالثة Butterworth فلتر مع ω_c=1

فإن مجموعة تأخير بأنها مشتقة من المرحلة فيما يتعلق التردد الزاوي و هو مقياس تشويه في إشارة عرض الاختلافات المرحلة على ترددات مختلفة. الربح و التأخير عن هذا الفلتر المرسومة في الرسم البياني على اليسار. يمكن أن ينظر إليه من أنه لا توجد تموجات في كسب منحنى سواء في passband أو التوقف عن الفرقة.

سجل القيمة المطلقة نقل وظيفة ساعة(ق) رسم في مجمع تردد الفضاء في الرسم البياني الثاني على اليمين. يتم تعريف الدالة من قبل ثلاثة أعمدة في النصف الأيسر من مجمع تردد الطائرة.

سجل كثافة قطعة من نقل وظيفة ساعة(ق) في مجمع تردد الفضاء لمدة ثالث ترتيب Butterworth فلتر مع ω_ج=1. ثلاثة أعمدة تقع على دائرة الوحدة قطر في النصف الأيسر الطائرة.

هذه هي مرتبة على دائرة نصف قطرها الوحدة ، متناظرة حول الحقيقي s المحور. كسب وظيفة لديها أكثر من ثلاثة أعمدة على النصف الأيمن الطائرة لاستكمال الدائرة.

عن طريق استبدال كل مغو مع مكثف و كل مكثف مع وسيط ، تمريرة عالية Butterworth مرشح الحصول عليها.

الفرقة تمرير Butterworth مرشح الحصول عليها عن طريق وضع مكثف في سلسلة مع كل مغو و مغو بالتوازي مع بعضها مكثف لتشكيل الدوائر الرنانة. قيمة كل عنصر جديد يجب تحديد أن يتردد صداها مع القديم المكون في وتيرة الاهتمام.

الفرقة وقفة Butterworth مرشح الحصول عليها عن طريق وضع مكثف على التوازي مع كل مغو و وسيط في سلسلة مع كل مكثف لتشكيل الدوائر الرنانة. قيمة كل عنصر جديد يجب تحديد أن يتردد صداها مع القديم المكون في التردد إلى رفض.

نقل وظيفة

مؤامرة من مكاسب Butterworth منخفضة مرشحات تمرير أوامر من 1 إلى 5, مع تردد قطع $\omega _{0}=1$. علما بأن الميل هو 20ن dB/العقد حيث n هو مرشح النظام.

مثل جميع المرشحات ، نموذجية النموذج هو مرشح تمرير منخفض ، والتي يمكن تعديلها إلى ارتفاع في تمرير مرشح ، أو وضعها في سلسلة مع الآخرين لتشكيل الفرقة تمرير و الفرقة وقفة الفلاتر و أعلى ترتيب الإصدارات من هذه.

المكسب $G(\omega )$ من n-النظام Butterworth مرشح تمرير منخفض في شروط نقل الوظيفة H(s) كما

$G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {j\omega }{j\omega _{c}}}\right)^{2n}}}$

حيث

يمكن أن ينظر إليه أن ن النهج اللانهاية, الربح يصبح مستطيل وظيفة ترددات أقل من ω_ج سيتم تمريرها مع اكتساب $G_{0}$بينما ترددات فوق ω_ج سيتم قمعها. أصغر قيم n, قطع سوف تكون أقل حدة.

نود أن تحديد وظيفة نقل H(s) حيث $s=\sigma +j\omega$ (من تحويل لابلاس). لأن $\left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}$ و الملكية العامة من تحويلات لابلاس في $s=j\omega$, $H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}$إذا نحن نختار H(s) مثل:

$H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},$

ثم ، $s=j\omega$لدينا استجابة التردد من Butterworth التصفية.

إن ن أقطاب هذا التعبير تحدث في دائرة نصف قطرها ω_ج في متباعدة بالتساوي نقطة ، متماثل حول سلبية محور حقيقي. من أجل الاستقرار نقل وظيفة ساعة(ق) ، ولذلك فإن اختيار تلك التي لا تحتوي إلا على أعمدة في الحقيقية السلبية نصف الطائرة من s. إن كال القطب هو محدد من قبل

$-{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n$

و بالتالي ؛

$s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.$

نقل( أو النظام) وظيفة قد تكون مكتوبة في شروط هذه الأعمدة

حيث $\prod$ هو نتاج تسلسل المشغل. القاسم هو Butterworth متعدد الحدود في s.

في بتروورث متعددو الحدود قد تكون مكتوبة في شكل معقد كما سبق ، ولكن عادة ما تكون مكتوبة مع المعاملات الحقيقية بضرب القطب أزواج مجمع تقارن مثل $s_{1}$ و $s_{n}$. متعددو الحدود هي طبيعية عن طريق وضع $\omega _{c}=1$. تطبيع Butterworth متعددو الحدود ثم يكون الشكل العام

$B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{even}}$

$B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{odd}}.$

إلى أربعة منازل عشرية ، فهي

تطبيع Butterworth متعددو الحدود يمكن استخدامها لتحديد وظيفة نقل لأي مرشح تمرير منخفض cut-off تردد $\omega _{c}$على النحو التالي

$H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}$ حيث $a={\frac {s}{\omega _{c}}}.$

التحول إلى أخرى bandforms من الممكن أيضا ، انظر النموذج مرشح.

القصوى التسطيح

على افتراض $\omega _{c}=1$ و $G_{0}=1$مشتق من مكاسب فيما يتعلق التردد يمكن أن تظهر

${\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}$

وهي مفردة النغمة تخفيض لجميع $\omega$ منذ كسب ز إيجابية دائما. كسب وظيفة Butterworth تصفية ولذلك لا تموج. وعلاوة على ذلك, سلسلة التوسع في كسب تعطى من قبل

$G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{2n}+{\frac {3}{8}}\omega ^{4n}+\ldots$

وبعبارة أخرى ، فإن جميع المشتقات من الربح حتى ولكن لا بما في ذلك 2ن-ال المشتقة هي صفر في $\omega =0$، مما أدى إلى "القصوى التسطيح". إذا شرط أن يكون رتيب يقتصر على passband فقط و تموجات يسمح في stopband ، فمن الممكن تصميم مرشح من نفس النظام ، مثل معكوس Chebyshev تصفيةهذا هو تملق في passband من "الحد الأقصى شقة" بتروورث.

عالية التردد لفة قبالة

مرة أخرى على افتراض $\omega _{c}=1$, المنحدر من سجل مكاسب كبيرة ω هو

في ديسيبل, عالية التردد لفة قبالة ولذلك 20ن dB/العقد أو 6ن dB/octave (عامل من 20 لأن الطاقة تتناسب مع مربع الجهد كسب ؛ انظر: 20 سجل القاعدة.)

تصفية تنفيذ و تصميم

هناك عدة مختلفة تصفية طبولوجيا المتاحة لتنفيذ خطي تصفية التناظرية. المستخدمة في معظم الأحيان توجد السلبي تحقيق هو Cauer طوبولوجيا و غالبا ما تستخدم طوبولوجيا نشط تحقيق هو Sallen–مفتاح طوبولوجيا.

Cauer طوبولوجيا

Butterworth تصفية باستخدام Cauer طوبولوجيا

على Cauer طوبولوجيا يستخدم مكونات سلبية (تحويلة المكثفات سلسلة لفائف) لتنفيذ خطي التناظري. في بتروورث تصفية وجود معين نقل وظيفة يمكن أن تتحقق باستخدام Cauer 1-شكل. إن كال عنصر معين من قبل

$C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{odd}}$

$L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{even}}.$

مرشح قد تبدأ مع سلسلة المحث إذا رغبت في ذلك ، وفي هذه الحالة ل_ك هي ك الغريب و ج_ك كنت كحتى. هذه الصيغ قد يكون من المفيد الجمع بجعل كل من L_k و C_k تساوي g_k. هذا هو g_k هو immittance مقسوما s.

$g_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.$

هذه الصيغ تطبيق مضاعف إنهاء التصفية (التي هي المصدر مقاومة الحمل كلاهما يساوي الوحدة) مع ω_ج = 1. هذا النموذج مرشح يمكن زيادتها عن القيم الأخرى من مقاومة التردد. بالنسبة منفردة إنهاء التصفية (التي هي واحدة يقودها المثالي الجهد أو التيار المصدر) عنصر القيم تعطى من قبل

$g_{j}={\frac {a_{j}a_{j-1}}{c_{j-1}g_{j-1}}}\qquad j=2,3,\ldots ,n$

حيث

$g_{1}=a_{1}$

و

$a_{j}=\sin {\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {(2j-1)}{n}}\right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n$

$c_{j}=\cos ^{2}\left[{\frac {\pi j}{2n}}\right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n.$

الجهد مدفوعة الفلاتر يجب أن تبدأ مع سلسلة العنصر الحالي مدفوعة الفلاتر يجب أن تبدأ مع تحويلة عنصر. هذه الأشكال هي مفيدة في تصميم diplexers و الرسائل.

Sallen–مفتاح طوبولوجيا

Sallen–مفتاح طوبولوجيا

على Sallen–مفتاح طوبولوجيا يستخدم المكونات النشطة والسلبية (نونينفيرتينج المخازن ، عادة op amp, المقاومات و المكثفات) لتنفيذ خطي التناظري. كل Sallen–المرحلة الأساسية تنفذ المترافقة زوج من أقطاب مجمل تصفية تنفيذ المتتالية في جميع مراحل السلسلة. إذا كان هناك قطب (في حالة $n$ هو الغريب) ، وهذا يجب أن تنفذ بشكل منفصل ، عادة باعتبارها RC circuit, و مع تتالي النشط مراحل.

الثاني-النظام Sallen–مفتاح دائرة هو موضح إلى اليمين نقل وظيفة تعطى من قبل

نتمنى القاسم إلى أن تكون واحدة من الدرجة الثانية حيث في بتروورث متعدد الحدود. على افتراض أن $\omega _{c}=1$هذا يعني أن

$C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1\,$

و

$C_{2}(R_{1}+R_{2})=-2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\pi \right).$

هذا يترك اثنين معرف عنصر القيم التي يمكن اختيارها.

الرقمية تنفيذ

الرقمية تطبيقات Butterworth وغيرها من المرشحات في كثير من الأحيان على أساس خطيه تحويل الأسلوب أو يقابل Z-تحويل طريقة, اثنين من أساليب مختلفة discretize التناظرية تصميم فلتر. في حالة من القطب الفلاتر مثل Butterworth, يقابل Z-تحويل الأسلوب هو ما يعادل دفعة ثبات الأسلوب. ارتفاع أوامر المرشحات الرقمية حساسة تكميم الأخطاء ، لذلك غالبا ما يتم احتساب تتالي biquad أقسامبالإضافة إلى واحد من الدرجة الأولى أو من الدرجة الثالثة ، القسم الغريب أوامر.

مقارنة مع غيرها من المرشحات الخطية

خصائص Butterworth التصفية هي:

• رتيب السعة الاستجابة في كل passband و stopband
• سريعة لفة قبالة حول قطع التردد الذي يحسن مع زيادة الطلب
• كبير التجاوز و رنين في الخطوة استجابة ، والتي تزداد سوءا مع زيادة الطلب
• قليلا غير الخطية المرحلة الرد
• المجموعة التأخير إلى حد كبير تعتمد على تردد

هنا صورة تبين مكاسب منفصلة في الوقت Butterworth فلتر بجانب الأخرى الشائعة أنواع التصفية. كل هذه الفلاتر هي الخامسة من النظام.

في بتروورث تصفية لفات قبالة ببطء أكثر حول وتيرة قطع من Chebyshev تصفية أو تصفية الاهليلجيه ، ولكن دون تموج.

المراجع

[[تصنيف:تصميم إلكتروني]] [[تصنيف:الصفحات بترجمات غير مراجعة]]