نظام Axiomatic

في الرياضيات ، فإن النظام البديهي هو أي مجموعة من البديهيات التي يمكن من خلالها استخدام بعض أو كل البديهيات مع نظريات تشتق منطقيًا. تتكون النظرية من نظام بدهي وكل نظرياته المشتقة. النظام البديهي الموصوف بالكامل هو نوع خاص من النظام الرسمي. عادةً ما تعني النظرية الرسمية نظامًا بديهيًا ، تم صياغته على سبيل المثال في نظرية النموذج. والدليل الرسمي هو ترجمة كاملة لإثبات رياضي ضمن نظام رسمي.

تحرير خصائص

ويقال إن النظام البديهي يكون متسقا إذا كان يفتقر إلى التناقض ، أي القدرة على اشتقاق كل من بيان وإنكاره من بديهيات النظام.

في نظام بدهي ، تسمى البديهية مستقلة إذا لم تكن نظرية يمكن اشتقاقها من البديهيات الأخرى في النظام. سيطلق على النظام تسمية مستقلة إذا كان كل من البديهيات الأساسية مستقلة. على الرغم من أن الاستقلال ليس شرطا ضروريا لنظام ما ، فإن الاتساق عادة ما يكون ، ولكن انظر المنطق التحليلي.

سيطلق على النظام البديهي استيفاء إذا كان لكل بيان ، إما نفسه أو نفيه مشتق. التناسق النسبي تحرير

أبعد من الاتساق ، الاتساق النسبي هو أيضا علامة على نظام بديهي جدير بالاهتمام. هذا هو عندما يتم توفير المصطلحات غير المعرفة للنظام البديهية الأولى من التعريفات من الثانية ، بحيث تكون البديهيات الأولى هي نظريات الثانية.

مثال جيد هو التناسق النسبي للهندسة أو الهندسة المطلقة فيما يتعلق بنظرية نظام الأرقام الحقيقية. الخطوط والنقاط هي مصطلحات غير محددة في الهندسة المطلقة ، ولكن معان محددة في نظرية الأعداد الحقيقية بطريقة تتفق مع كل من الأنظمة البديهية.

نماذج تحرير

إن نموذجًا للنظام البديهي هو مجموعة محددة بشكل جيد ، والتي تحدد معنى المصطلحات غير المحددة المعروضة في النظام ، بطريقة صحيحة مع العلاقات المحددة في النظام. وجود نموذج ملموس يثبت اتساق النظام. يسمى النموذج بالخرسانة إذا كانت المعاني المعينة هي كائنات وعلاقة من العالم الحقيقي [التوضيح المطلوب]} ، على عكس النموذج التجريدي الذي يعتمد على أنظمة بديهية أخرى.

يمكن أيضًا استخدام النماذج لإظهار استقلالية البديهية في النظام. من خلال بناء نموذج صالح لنظام فرعي بدون بديهية محددة ، نظهر أن البديهية المحذوفة تكون مستقلة إذا لم يتبع صحتها بالضرورة من النظام الفرعي.

ويقال إن اثنين من النماذج أن تكون متساوية إذا كان يمكن العثور على المراسلات واحد إلى واحد بين عناصرها ، بطريقة يحافظ على علاقتها. إن النظام البديهي الذي يتطابق فيه كل نموذج مع أي نموذج آخر يسمى categorial (في بعض الأحيان فئويًا) ، وتضمن خاصية التصنيف (فئوية) اكتمال النظام. طريقة Axiomatic تحرير

إن تعريف التعاريف والاقتراحات بطريقة تجعل كل مصطلح جديد يمكن القضاء عليه رسمياً من خلال المصطلحات التي أدخلت من قبل يتطلب أفكاراً بدائية (بديهية) لتجنب الانحدار اللانهائي. وتسمى هذه الطريقة في ممارسة الرياضيات بالطريقة البدهية. [1]

الموقف المشترك تجاه الطريقة البديهية هو المنطق. حاول كتاب ألفريد نورث وايتهيد وبرتراند رسل في كتابهما Principia Mathematica إظهار أن جميع النظريات الرياضية يمكن أن تنقسم إلى مجموعة من المسلمات. وبصورة أعم ، فإن تقليل مجموعة المقترحات إلى مجموعة معينة من المسلمات يكمن وراء برنامج أبحاث الرياضيات. كان هذا الأمر بارزًا جدًا في رياضيات القرن العشرين ، لا سيما في الموضوعات التي تدور حول الجبر المتجانس.

يمكن أن يساعد تعبير البديهيات المعينة المستخدمة في النظرية في توضيح مستوى مناسب من التجريد الذي يرغب عالم الرياضيات في العمل معه. على سبيل المثال ، اختار علماء الرياضيات أن الحلقات لا يجب أن تكون تبادلية ، والتي تختلف عن الصيغة الأصلية لـ Emmy Noether. قرر علماء الرياضيات النظر في المساحات التوبولوجية بشكل عام دون وجود البديهية الفاصلة التي صاغها فيليكس هاوزدورف في الأصل.

لقد أتاحت مغاسل زيرميلو-فراينكل ، نتيجة الطريقة البديهية المطبقة على النظرية المحددة ، الصيغة "الصحيحة" لمشاكل نظرية المجموعة وساعدت على تجنب مفارقات النظرية الساذجة. إحدى هذه المشاكل كانت فرضية Continuum. نظرية Zermelo – Fraenkel مع نظرية بديهية مبدئية للخيار المتضمن هو ZFC المختصرة عادة ، حيث تشير C للاختيار. يستخدم العديد من المؤلفين ZF للإشارة إلى بديهيات نظرية مجموعة Zermelo – Fraenkel مع بديهية الاختيار المستثنى. اليوم ZFC هو الشكل المعياري لنظرية المجموعات البديهية ، وهو الأساس الأكثر شيوعًا للرياضيات. تاريخ تحرير مزيد من المعلومات: تاريخ الرياضيات تطورت الأساليب الرياضية إلى درجة معينة من التطور في مصر القديمة ، بابل ، الهند ، والصين ، على ما يبدو دون استخدام الأسلوب البدهي.

كتب إقليدس من الاسكندرية أقدم عرض موجودة بديهية من الهندسة الإقليدية ونظرية الأعداد. تم تطوير العديد من الأنظمة البديهية في القرن التاسع عشر ، بما في ذلك الهندسة غير الإقليدية ، وأسس التحليل الحقيقي ، ونظرية مجموعة كانتور ، وعمل فريج على المؤسسات ، واستخدام هيلبرت 'الجديد' للطريقة البديهية كأداة للبحث. على سبيل المثال ، وضعت نظرية المجموعة لأول مرة على أساس بدهي في نهاية هذا القرن. وبمجرد توضيح البديهيات (يجب أن تكون العناصر العكسية مطلوبة ، على سبيل المثال) ، يمكن للموضوع أن يتقدم بشكل مستقل ، دون الإشارة إلى أصول مجموعة التحول في تلك الدراسات.

قضايا تحرير لا يمكن التقاط كل مجموعة متناسقة من الافتراضات من خلال مجموعة من المسلمات البديهية. استدعاء مجموعة من البديهيات العودية إذا كان برنامج الكمبيوتر يمكن التعرف على ما إذا كان اقتراح معين في اللغة هو بديهية. ثم تخبرنا نظرية أول عدم اكتمال في جودل أن هناك بعض الأجسام المتسقة من المقترحات دون أي تكاثر إعادي. عادة ، يمكن للكمبيوتر التعرف على البديهيات والقواعد المنطقية لاشتقاق النظريات ، ويمكن أن يتعرف الكمبيوتر على ما إذا كان الدليل صالحًا ، ولكن تحديد ما إذا كان هناك دليل على وجود بيان ما هو قابل للذوبان فقط من خلال "الانتظار" لإثبات أو عدم القدرة على التثبت ولدت. والنتيجة هي أن المرء لن يعرف النظريات التي هي نظريات وينهار الأسلوب البديهية. مثال على هذه المجموعة من المقترحات هو نظرية الأعداد الطبيعية. وهكذا فإن الـ Peano Axioms (كما هو موضح أدناه) لا يؤدي إلا إلى إضفاء الصبغة الجزئية على هذه النظرية.

من الناحية العملية ، لا يعود كل دليل إلى البديهيات. في بعض الأحيان ، ليس من الواضح ما هي مجموعة من البديهيات التي يستدعيها إثبات. على سبيل المثال ، قد يكون بيان النظرية-العدد صريحًا في لغة الحساب (أي لغة Beano Axioms) وقد يتم تقديم دليل يوجه النداءات إلى الطوبولوجيا أو التحليل المعقد. قد لا يكون من الواضح على الفور ما إذا كان يمكن العثور على دليل آخر يستمد نفسه فقط من Peano Axioms.

إن أي نظام من المسلمات المختارة بشكل عشوائي أو عشوائي هو أساس بعض النظريات الرياضية ، لكن هذا النظام البدائي التعسفي لن يكون بالضرورة خالياً من التناقضات ، وحتى إذا كان كذلك ، فإنه من غير المحتمل أن يلقي الضوء على أي شيء. في بعض الأحيان يؤكد فلاسفة الرياضيات أن علماء الرياضيات يختارون البديهيات "بشكل تعسفي" ، ولكن من الممكن أنه على الرغم من أنها قد تبدو عشوائية عند النظر إليها فقط من وجهة نظر شرائع المنطق الاستنتاجي ، فإن هذا المظهر يرجع إلى تقييد للأغراض الاستنتاجية المنطق يخدم.

مثال: Peano axiomatization من الأعداد الطبيعية تحرير المقال الرئيسي: البينو البديهيات يعتمد النظام الرياضي للأعداد الطبيعية 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... على نظام بدهي تم كتابته لأول مرة بواسطة عالم الرياضيات Peano في عام 1889. وقد اختار البديهيات ، بلغة رمز دالة أحادي وحيد S (باختصار لـ "الوريث") ، لأن مجموعة الأرقام الطبيعية هي:

يوجد رقم طبيعي 0. كل عدد طبيعي a له خليفة ، برمز Sa. لا يوجد رقم طبيعي يكون خلفه 0. الأعداد الطبيعية المميزة لها خلفاء متميزون: إذا كانت a ≠ b ، ثم Sa ≠ Sb. إذا كانت الخاصية تمتلكها 0 وأيضاً من قبل الخلف من كل عدد طبيعي فهي تمتلكها ، عندها تمتلكها جميع الأعداد الطبيعية ("البديهية الحثية"). تبسيط الحقائق تحرير في الرياضيات ، تكون عملية البديهية هي صياغة نظام من العبارات (أي البديهيات) التي تربط عددًا من المصطلحات البدائية لكي يتم اشتقاق مجموعة من الافتراضات بشكل استنتاجي من هذه العبارات. بعد ذلك ، يجب أن يكون الدليل على أي اقتراح ، من حيث المبدأ ، عائدًا إلى هذه البديهيات.

انظر أيضا تحرير

قائمة أنظمة المنطق مخطط اكسيوم نظرية عدم اكتمال Gödel نظام خصم على غرار Hilbert منطقانية وضع زيرميلو - فراينكيل نظرية ، وهو نظام بدهي لنظرية المجموعة والأساس الأكثر شيوعا اليوم للرياضيات.

المراجع تحرير

^ "مجموعة النظرية وفلسفتها ، مقدمة حرجة" S.6؛ مايكل بوتر ، أكسفورد ، 2004 Hazewinkel، Michiel، ed. (2001) [1994] ، "طريقة Axiomatic" ، موسوعة الرياضيات ، Springer Science + Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers، ISBN 978-1-55608-010-4 Eric W. Weisstein، Axiomatic System، From MathWorld - A Wolfram Web Resource. Mathworld.wolfram.com & Answers.com