افتح القائمة الرئيسية
مثلث متساوي الأضلاع.

في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral triangle) هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول.[1][2][3] وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس و قياس كل منهما يساوي ستين درجة.

المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.

خصائص أساسيةعدل

طول الارتفاععدل

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

 

البرهان:

إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع السابق ذكرها ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

 

 

 

وهو المطلوب.

المساحةعدل

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحته تعطى بالقانون:

 

البرهان:

مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة

مساحة المثلث = ½   ×  

  مساحة المثلث المتساوي الأضلاع =  

وهو المطلوب.

مبرهنات مهمةعدل

خصائص أخرىعدل

 
مثلث متساوي الأضلاع، أطوال أضلاعه متساوية (a=b=c)، وقياسات زواياه متساوية ( ) وارتفاعاته متساوية (ha=hb=hc).

بفرض طول الضلع a، والارتفاع h، فإن:

  • طول نصف قطر الدائرة المحيطة هو:  
  • طول نصف قطر الدائرة الداخلية هو:  
  • حسب مبرهنة أويلر، فإن الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة بمثلث متساوي الساقين لهما مركز واحد.
  • المثلث ذو المساحة القصوى المحاط بدائرة محددة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الصغرى المحيط بدائرة معلومة هو مثلث متساوي الأضلاع.
  • نسبة مساحة الدائرة المحاطة بمثلث متساوي الأضلاع إلى مساحته هي:  ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
  • نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى مربع محيطه هي  ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.

الإنشاء الهندسيعدل

مثلث متساوي الأضلاع ينشئ بسهولة بواسطة الفرجار والمسطرة.

انظر أيضاًعدل

مراجععدل

  1. ^ De، Prithwijit (2008). "Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle". Mathematical Spectrum. 41 (1): 32–35. 
  2. ^ Community - Art of Problem Solving نسخة محفوظة 13 أكتوبر 2016 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ Minda، D.؛ Phelps، S. (2008). "Triangles, ellipses, and cubic polynomials". American Mathematical Monthly. 115 (October): 679–689. JSTOR 27642581. 

وصلات خارجيةعدل