مبرهنة ليندمان-فايرشتراس

في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem)‏ هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.[1]

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس.

البرهانعدل

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة   التي تحقق المعادلة:

 

بحيث يكون كلا العددان   و  مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ  ، في حين سنستعمل الترميز التالي   كاختصار للتكامل:

 .

سنصل إلى المعادلة:

 

والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

 

حيث

 
 

الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :  هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد   ليس كذلك.

والسبب في أن   عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

 

وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

  من أجل k كبير بما يكفي

نشير أولا إلى أن   هو جداء الدوال   و . وباستعمال المحد العلوي لـ   و  على المجال   وبما أن:

  لكل عدد حقيقي G.

وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن مبرهنة ليندمان-ويرستراس على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)