مبرهنة سافيتش

في نظرية التعقيد الحسابي مبرهنة سافيتش هي نتيجة اساسية مهمة تحدد العلاقة بين تعقيد المساحة القطعي وغير القطعي .[1] ونص المبرهنة هو :

في حين أنَّ ((NSPACE(s(n هو قسم كل اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج غير قطعية التي تستغل (s(n مساحة اضافية على الأكثر , ((SPACE(s(n هو قسم كل اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج قطعية التي تستغل (s(n مساحة اضافية على الأكثر .

البرهانعدل

فلتكن   لغة التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج غير قطعية , M , التي تستغل (s(n مساحة اضافية . لكل   مخطط الصُوَر , G=GM,x , يوجد فيه على الأكثر   رؤوس . لاحظ انَّ   فقط إذا يوجد من الصورة الاولية، نرمز لها s , مسار موجه إلى الصورة النهائية، نرمز لها t , هذه المسألة تُعرف أيضا بمسألة الوصول وهي مسألة تقرير : معطى مخطط G , وكذلك رأسين s و-t ,قرر إذا ما يوجد مسار موجه بين s و- t . يمكن حل هذه المسألة بسهولة بواسطة DFS أو BFS ولكن المساحة الاضافية المستخدمة خطية (اي  ) وهذا لا يفيد للمبرهنة .

نعرف (Reach(u,v,i على انه "نعم" إذا يوجد مسار بين u و- v طوله على الأكثر 2i و"لا" خلاف هذا . لاحظ انه :

  1. ((Reach(s,t,log(n = "نعم" فقط إذا يوجد مسار بين s و- t . (اي انه يمكننا حل مسألة الوصول)
  2. (Reach(u,v,i="نعم"   يوجد رأس z بحيث يمكن الوصول من u إلى z وطول المسار بينهما على الأكثر   , ويمكن الوصول من z إلى v حيث ان طول المسار بينهما على الأكثر   .

بواسطة هذه الملاحظات امكن ان نحصل على خوارزمية عودية والتي مساحتها الاضافية التي تستخدمها على الأكثر هي   .

الخوارزميةعدل

من الملاحظات السابقة يظهر انه ليتحقق (Reach(u,v,i="نعم" يكفي ان نجد z الذي يحقق (1-Reach(u,z,i="نعم" و (1-Reach(z,v,i="نعم" , لذا كل ما علينا فعله هو ايجاد z يحقق المطلوب، لذا فاننا سوف نبحث عنه عودياً (recursively) :

def k_edge_path(s, t, k):
    if k == 0:
        return s == t
    else if k == 1:
        return s == t or (s, t) in edges
    else:
        for u in vertices:
            if k_edge_path(s, u, floor(k / 2)) and k_edge_path(u, t, ceil(k / 2)):
                return true
    return false

نلحظ انه يمكن استخدام المساحة التي قد استخدمت سابقا، لذا فان المساحة الاضافية يمكن التعبير عنها بالشكل التالي :

  لذا من الملاحظة الاولى : لنحل مسألة الوصول ((i=O(log(m اي :   وحل هذه العلاقة العودية هو   وهذا هو المطلوب .

استنتاجاتعدل

  • PSPACE=NPSPACE , وهذا لان تربيع كثير الحدود هو أيضا كثير حدود .
  • NL⊆L2 حيث أنَّ ((L2=SPACE(log2(n , وهذا ينبع من المبرهنة مباشرة، وكذلك لان مسألة الوصول هي مسألة كاملة في الصنف NL .

انظر أيضاعدل

مصادرعدل

  1. ^ "معلومات عن مبرهنة سافيتش على موقع academic.microsoft.com". academic.microsoft.com. مؤرشف من الأصل في 27 أكتوبر 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)