مبرهنة رول

مبرهنة في حساب التفاضل والتكامل

في التفاضل والتكامل، تنص مبرهنة رول على أن كل دالة قيمها عبارة عن أعداد حقيقية وقابلة للاشتقاق، والتي تتساوى قيمتها عند نقطتين اثنتين مختلفتين، فإن لهذه الدالة نقطة ما بينهما، حيث تكون قيمة اشتقاق الدالة عند تلك النقطة مساوية للصفر.[1][2][3]

تمثيل بياني للنظرية

إذا كانت دالة تحقق الشروط الآتية لعددين حقيقيين a وb بحيث

فإنه يوجد عنصر c حقيقي ضمن بحيث .

الصيغة الرسمية للمبرهنةعدل

تكتب مبرهنة رول على الشكل التالي:

مبرهنة —  لتكن a و b عددين حقيقين حيث a < b و f دالة للقيم الحقيقية متصلة على [a, b] و قابلة للإشتقاق على ]a, b[ حيث   يوجد (على الأقل) عدد حقيقي c ينتمي إلى ]a, b[ حيث  


التاريخعدل

أول برهان رسمي معروف لهذه المبرهنة يعود إلى ميشيل رول. كان ذلك في عام 1691

أمثلةعدل

المثال الأولعدل

 
نصف دائرة شعاعها يساوي r.

ليكن r عددا موجبا ولتكن الدالة التالية:

 

المثال الثانيعدل

 
الرسم البياني لدالة القيمة المطلقة.
 

تعميماتعدل

برهان الصيغة المعممةعدل

تعميم لدرجات اشتقاق أعلىعدل

برهانعدل

وجود القيمة r يعني أن هناك قيمة قصوى أو دنيا. نفترض f موجبة في (أ، ب).

في هذه الحالة يكون للدالة f على الأقل قيمة قصوية.

إذا افترضنا أنه لا توجد القيمة r، وf(a) = 0 وf موجبة. فهذا يعني أن الدالة f متزايدة أي أن f(b)#0 وهذا يتناقض مع f(b)=0.

تعميمات لحقول أخرىعدل

انظر أيضًاعدل

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن مبرهنة رول على موقع brilliant.org"، brilliant.org، مؤرشف من الأصل في 11 فبراير 2018.
  2. ^ "معلومات عن مبرهنة رول على موقع britannica.com"، britannica.com، مؤرشف من الأصل في 1 أغسطس 2017.
  3. ^ "معلومات عن مبرهنة رول على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 13 نوفمبر 2018.
  • نظرية رول [1]

وصلات خارجيةعدل