مبرهنة الجذر النسبي

في الجبر، مبرهنة الجذر النسبي (بالإنجليزية: Rational root theorem)‏ هي مبرهنة تتعلق بالحلول الجذرية لمعادلة حدودية معاملاتها أعداد صحيحة. لتكن المعادلة الحدودية

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0$

حيث المعاملات أعداد صحيحة ($a_{i}\in \mathbb {Z}$) وحيث المعاملان الأول والأخير يختلفان عن الصفر ($a_{0},a_{n}\neq 0$).

كل حل نسبي لـx يمكن كتابته على شكل كسر x=p/q في ابسط صورة تحقق أن p عدد صحيح يقسم $a_{0}$ و q عدد صحيح يقسم معامل $a_{n}$.
من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال $a_{n}=1$.

البرهان

نعرف كثيرة الحدود $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0$ حيث $a_{n},\cdots ,a_{0}$ أعداد صحيحة ولنفرض أن p/q حل $P(x)$ حيث p,q أوليان نسبياً.

بالتعويض في $P(x)$ نحصل على

$P(p/q)=a_{n}(p/q)^{n}+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+\cdots +a_{1}(p/q)+a_{0}=0$

وبنقل $a_{0}$ للطرف الآخر وضرب طرفي المعادلة في $q^{n}$ وأخذ $p$ كعامل مشترك نصل إلى

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.$

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح ولكون p,q أوليان نسبياً نصل إلى أن $p$ تقسم a₀. و بالمثل، إذا نقلنا الحد القائد $a_{n}$ للطرف الآخر وبالضرب في $q^{n}$ نصل إلى

$q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.$

و بالمثل نستنتج أن q تقسم a_n .

مثال

على سبيل المثال. جميع الجذور النسبية للمعادلة

$3x^{3}-5x^{2}+5x-2=0\,\!$

يجب أن يكونوا من ضمن الأعداد

± ${\tfrac {1,2}{1,3}}\,,$

والذي يعطي 8 إجابات ممكنة:

$1,-1,2,-2,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}}\,.$

يمكن إيجاد الحل منها بالعدديد من الطرق، على سبيل المثال طريقة هورنر.

روابط خارجية

• إيريك ويستاين، Rational Zero Theorem، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).