قاعدة كرامر

في الجبر الخطي، قاعدة كرامر (بالإنجليزية: Cramer's rule)‏ هي مبرهنة تعطي حلحلة لنظام معادلات خطية (أو ما قد يدعى جملة المعادلات الخطية) بدلالة المحددات .[1][2][3] سميت هذه القاعدة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر (1704-1752)م. حسابيا تعتبر هذه الطريقة غير فعالة جدا لذلك فهي نادرة الاستخدام سيما في التطبيقات التي تتضمن العديد من المعادلات . ولذلك تستخدم طريقة غاوس عادة في حل جمل المعادلات المتعددة بدلا من قاعدة كرامر.

الحالة العامةعدل

ليكن نظاما من n معادلة خطية عدد مجاهيله n، مُثل باستعمال المصوففات كما يلي:

 

حيت A مصفوفة مربعة بُعدها هو n × n وحيث محددها غير مساو للصفر وحيث المتجهة   هي المتجهة المعبرة عن متغيرات هذا النظام. تنص قاعدة كرامر على هذا النظام يقبل حلحلة وحيدة تعطي لكل متغير من متغيراته القيمة التالية:

 

حيث المصفوفة   حُصل عليها بتعويض العمود i من المصفوفة A بالمتجهة b.

البرهانعدل

 
 
 

مثالعدل

ليكن نظام المعادلات الخطية التالي، مكونا من ثلاث معادلات:

 
 
 

مصفوفة المعاملات هي كما يلي:

 

أما الجانب الأيمن من هذه المعالات الثلات، فقد يمثل بالمتجهة التالية

 

نظام المعادلات الثلاث أعلاه قد يكتب إذن كما يلي:

 

حيث

 

من أجل حساب قيمة x أو y أو z، ينبغي حساب محدد المصفوفة A. يتم هذا الحساب كما يلي رجوعا إلى صيغة لابلاص :

 

إذن

 

من أجل حساب قيمة x، يحصل على المصفوفة التالية (بتعويض العمود الأول بالمتجهة b):

 

ينبغي حساب محدد   كما يلي :  

 

بنفس الطريقة تحسب y و z.

ايجاد المصفوفة العكسيةعدل

لتكن مصفوفة A بُعداها هما n × n.

 

حيث   يشير إلى المصفوفة المصاحبة لهذه المصفوفة وحيث   هو محددها وI هي مصفوفة الوحدة.

إذا كان محدد المصفوفة A غير مساو للصفر، فإنها قابلة للعكس ومعكوستها تُحسب كما يلي:

 

تطبيقاتعدل

تفسير هندسيعدل

براهين اخرىعدل

الحالات غير المتناسقة وغير المنتهيةعدل

انظر أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ Hedman, Bruce A. (1999). "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247. مؤرشف من الأصل (PDF) في 21 يوليو 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ David Poole (2014). Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning. صفحة 276. ISBN 978-1-285-98283-0. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. صفحات 111–112. ISBN 9780486634012. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

وصلات خارجيةعدل