فيزياء الكرة النطاطة

فيزياء الكرات المرتدة
يظهر في الصورة حركة الكرة النطاطة على شكل قطع مكافئ نتيجة مقاومة الهواء.

تتعلق فيزياء الكرة النطاطة بالسلوك الجسدي للكرات النطاطة بشكل عام حيث تهتم بدراسة حركة الجسم قبل السقوط وأثناءه وبعد اصطدامه بالأرض لذلك فهي تعتبر مادة دراسية جيدة لشرح مقدمة عن علم الميكانيكا في المرحلتي الثانوية والجامعية لكن يحتاج من يتعمق فيها تطبيق مبادئ الهندسة والميكانيكا على الألعاب الرياضية.

توصف حركة الكرة بشكل كبير حركة القذيفة حيث بتأثر كلاهما بكل من الجاذبية، مقاومة الموائع، تأثير ماغنوس وقانون الطفو لكنها تتميز بتأثرها بمعامل الاستعادة (الذي يمكن أن يتأثر بطبيعة الكرة، طبيعة السطح المؤثر، سرعة التصادم، الدوران، والظروف المحلية مثل درجة الحرارة والضغط). لذلك تضع هيئة إدارة الرياضة الكرة النطاطة (الصورة المحدثة للعبة كرة أمريكا الوسطى) العديد من القيود على تلك المؤثرات لمنع العبث بخصائص الكرات لضمان اللعب النظيف.[1]

القوة المؤثرة أثناء الرحلة وتأثيرها على الحركةعدل

 
القوى المؤثرة على الكرة الدوارة خلال رحلتها: قوى الجاذبية (FGمقاومة المائع (FDتأثير ماغنوس (FMالطفو (FB).

تتشباهة حركة الكرة المرتدة مع حركة القذيفة فهي تتعرض للعديد من القوى مثل:[2][3]

لتحليل حركة الكرة يتم استخدام قانون نيوتن الثاني:

 

حيث:

الجاذبيةعدل

 
مسار كرة نطاطة على زاوية 70° بدون تطبيق مقاومة المائع     ، مع تطبيق قانون ستوكس      ومع مائع نيوتوني     .

تؤثر قوة الجاذبية على مركز الكرة إلى أسفل طبقا للمعادلة التالية:[4]

 

حيث

يتم اهمال باقي تأثيرات القوى كالسحب وقوى ماغنوس لصغر قيمتهم وبذلك تصبح الكرة معرضه لقوى الجاذبية فقط وهي ما تعرف بالحالة المثالية وتكون معادلة الحركة بالشكل التالي:

 

حيث

  • a: تسارع الكرة
  • v: سرعة الكرة
  • r: موقع الكرة
  • V0: السرعة الابتدائية
  • r0: الموقع الابتدائي

وبشكل أكثر تحديدا، إذا ارتدت الكرة بزاوية θ مع الأرض، فإن الحركة في المحورين x و y والتي تمثل الحركة الأفقية والعمودية على التوالي توصف بالمعادلة التالية:[6]

x-axis
 
y-axis
 





عند الأخذ في الاعتبار، كلا من:

  • H: أقصى ارتفاع
  • R: المدى
  • T: زمن الرحلة

تكون المعادلة بالشكل التالي:[2][6]

 

عند التعمق في حركة الكرة يتم الأخذ في الاعتبار قيمة مقاومة الهواء (والتأثيرات ذات الصلة مثل قوى مقاومة الموائع وقوى الرياح) وتأثير ماغنوس وقوى الطفو.

مقاومة الموائععدل

يمكن أن يكون تدفق الهواء حول الكرة إما صفائحيًا أو مضطربًا استنادًا على عدد رينولدز (Re)، المعرّف على النحو التالي:

 

حيث:

كل هذه القيم عند 20 درجة مئوية، ρ = 1.2 kg/m3، ولزوجة 1.8×10−5 باسكال ثانية.[7]

إذا كان رقم رينولدز منخفضًا جدًا أقل من 1، يتم وصف قوى السحب المؤثرة على الكرة من قانون ستوكس:[8]

 

حيث:

  • r: نصف قطر الكرة
  • اتجاه الكرة هي اتجاه القوى،

تتراوح قيمه عدد رينولدز لمعظم الكرات الرياضية ما بين 104 و 105 وبذلك لا يتم تطبيق قانون ستوكس وإنما يتم تطبيق المعادلة التالية:[9][10]

 

حيث:

تتسبب قوى السحب في فقدان الكرة للطاقة الميكانيكية أثناء رحلتها والتي تؤدي إلى تقليل نطاق وارتفاع الكرة، في حين تعمل الرياح المتعامدة عن تحولها من مسارها الأصلي. يأخذ لاعبي الألعاب الرياضية مثل الجولف تأثير كلا القوتين.

تأثير ماغنوسعدل

 
تأثير قوى ماغنوس على دوران الكرة، تظهر خطوط التدفق مضطربة. ينحرف تدفق الهواء في اتجاه الدوران.
في تنس الطاولة، يستطيع اللاعب الماهر استغلال دوران الكرة للتأثير على مسار الكرة أثناء رحلتها ورد فعلها عند التأثير على السطح. مع دوران الجزء العلوي للكورة، تضل الكرة إلى أقصى ارتفاع في رحلتها قبل أن تنحني بشكل مفاجئ نحو الأسفل. يدفع التأثير الكرة للأمام ويميل إلى الارتداد صعودا عند التأثير على اللاعب المنافس. العكس تماما في حالة التأثير السفلي.

يؤثر دوران الكرة على مسارها من خلال تأثير ماغنوس، وفقا لنظرية كوتا- جوكويسكي التي تصف مجال الغزل مع تدفق الهواء غير المرئي فإن قوة ماغنوس تساوي:[11]

 

حيث:

يتم توجيه هذه القوة بشكل عمودي على الحركة وعمودي على محور الدوران. يتم توجيه القوة لأعلى أو لأسفل عن طريق تحديد مركز الدوران. في الواقع لا يتم إهمال قيمة التدفق لتكون المعادلة بالشكل التالي:

 

حيث:

يعتبر معامل الرفع عامل معقدا يعتمد على العديد من البيانات مثل نسبه rω/v، وعدد رينولدز، وخشونة السطح.[12] في بعض الحالات، يمكن أن يكون معامل الرفع سالبا مما يعني تغير اتجاه قوة ماغنوس أي أن التأثير في الاتجاه المعاكس لما تم افتراضه قبل إجراء الحسابات.[4][13]

في الألعاب الرياضية مثل التنس أو الكرة الطائرة، يمكن للاعب استخدام تأثير ماغنوس للتحكم في مسار الكرة أثناء الرحلة. في لعبة الجولف أيضا، يمكن أن يكون التأثير مسؤولاً عن التقطيع والتركيب التي عادة ما تكون ضارة بالجولف، ولكنها تساعد أيضًا في زيادة مدى القيادة.[14][15] أما في لعبة البيسبول، يستخدم الرماة التأثير لرمي كرات منحنية.[16]

غالبًا ما يكون التلاعب بالكرة غير قانوني، وغالبًا ما يتسبب في حدوث خلافات خصوصا في لعبة الكريكيت مثل الخلاف بين إنجلترا وباكستان في أغسطس 2006.[17] في لعبة البيسبول، يشير المصطلح "تفل الكرة" إلى الطلاء غير القانوني للكرة باستخدام البصق أو مواد أخرى لتغيير الديناميكا الهوائية للكرة.[18]

قوى الطفوعدل

أي جسم مغمور في مائع سواء كان هذا المائع سائل أو غاز يتعرض لقوى الطفو،[19] وفقا لمبدأ أرخميدس، فإن هذه القوة تساوي وزن السائل النازح بواسطة الجسم. في حالة الكرة، تكون قوة الطفو تساوي:

 

عادة ما تكون قوة الطفو صغيرة مقارنة بقوتي السحب وتأثير ماغنوس، لذلك يتم إهمال قيمتها في أغلب الأحيان. لكن في حالة كرة السلة والحالات المماثلة لها، يمكن أن تصل قوى الطفو إلى حوالي 1.5% من وزن الكرة- نظرا لأنه تأثير الطفو إلى أعلى- مما يؤدي إلى زيادة مدى الكرة وارتفاعها.[19]

الإصطدامعدل

 
مسار الكرة أثناء السقوط (A→B) ومسارها بعد الإصطدام (B→C) بسطح ما. غالبا ما يكون الإصطدام عموديا على السطح ويتم تمثيله وفقا لقانون هوك.[20][21]
  ملف خارجي

عند اصطدام الكرة بسطح ما يتكون حرارة وصوت، الناتجة من فقدان الكرة جزءا من طاقتها الحركية كما تتحول جزءا من تلك الطاقة إلى طاقة حركة دورانية. أما الجزء المفقود من تلك الطاقة فتعتمد على قيمة الرد ويتم التعبير عنه وفقا للمعادلة التالية:[22][note 1]

 

حيث:

  • vf: السرعة النهائية للكرة
  • vi: السرعة الابتدائية للكرة
  • uf: السرعة النهائية المؤثرة على السطح
  • ui: السرعة الابتدائية المؤثرة على السطح

إذا وقعت كرة على سطح متحرك، يتم تعريف معامل الرد وفقا للمعادلة التالية:[23]

 
 
 

حيث:

  • r: نصف القطر
  • ω: السرعة الزاوية
  • R: نصف قطر الجسم المؤثر (مثل مضرب البيسبول)
  • Ω: السرعة الزاوية للجسم المؤثر
  • : السرعة العرضية لسطح الكرة
  • : السرعة العرضية للسطح المؤثر

تكون تلك المعادلات ذات أهمية عندما تؤثر الكرة على السطح بزاوية مائلة أو عندما يتعلق الأمر بالدوران.

أما في حالة السقوط المستقيم على الأرض بدون دوران، مع تأثير قوة الجاذبية فقط على الكرة، تكون المعادلة بالشكل التالي:[21][24]

 

حيث:

يشير الحرفان i و f إلى الحالة الأولية (قبل التصادم) والنهائي (بعد الإرتطام) للكرة. وبالمثل، يمكن ربط فقدان الطاقة بالمعامل الرد بواسطة المعادلة التالية:

 

يمكن أن يتأثر معامل الرد الخاص بالكرة بعدة أشياء، حيث يتأثر بشكل أساسي:

يمكن للظروف الخارجية مثل درجة الحرارة تغيير خصائص السطح المؤثر أو الكرة، مما يجعلها إما أكثر مرونة أو أكثر صلابة. وهذا بدوره سيؤثر على معامل الرد.[21] بشكل عام، سوف تتشوه الكرة بشكل أكبر عند السرعات العالية التأثير وبالتالي ستفقد المزيد من طاقتها مما يقلل من معامل الرد.[21][27]

الدوران وزاوية التأثيرعدل

 
القوى المؤثرة على كرة الدوران أثناء الاصطدام هي القوة الجاذبية، القوة العمودية، قوة الاحتكاك (والتي تشمل الاحتكاك المتعدي والدوراني). إذا كان السطح مائل بزاوية فإن قوة الجاذبية ستكون بزاوية من السطح، في حين أن باقي القوى الأخرى ستبقى متعامدة أو موازية للسطح.

عند اصطدام جسم الكرة بالأرض، يتحول جزء من الطاقة الحركية للجسم إلى طاقة حركة دورانية تحدد قيمتها واتجاه دورانها وفقا لزاوية سقوط الكرة وسرعتها الزاوية. في حالة تحرك الكرة أفقيا عند الإصطدام، فسوف تتعرض لقوى احتكاك تؤثر في الاتجاه المعاكس لحركة الكرة. في الشكل المقابل، تتحرك الكرة في اتجاه اليمين وبالتالي يكون اتجاه تأثير قوى الاحتكاك في اليسار. أما في حالة دوران الكرة عند الاصطدام، فسيكون للاحتكاك رد فعل دوراني في الاتجاه المعاكس لدوران الكرة. يظهر في الشكل المقابل، دوران الكرة في اتجاه عقارب الساعة وتتحرك النقطة التي اصطدمت بالأرض نحو اليسار بينما تؤثى القوى الدورانية المعاكسه في اتجاه اليمين. على عكس القوة العمودية وقوة الجاذبية، تؤثر القوى الاحتكاكية على عزم دوران على الكرة وتغيير سرعتها الزاوية (ω).[28][29][30][31] عند سقوط الكرة يمكن أن تنشأ ثلاث حالات وهم:[31][32][33]

  1. إذا دفعت الكرة للأمام مع دوران سفلي، فإن الاحتكاك السطحي والدوراني يعمل في نفس الاتجاهات. تقل السرعة الزاوية للكرة بعد الاصطدام وكذلك سرعتها الأفقية ويتم دفع الكرة لأعلى وربما تتجاوز ارتفاعها الأصلي بل من الممكن أيضا أن تبدأ الكرة في الدوران في الاتجاه المعاكس أو ترتد حتى إلى الخلف.
  2. إذا دفعت الكرة للأمام مع دوران علوي، فإن كلا من قوى الاحتكاك السطحي وقوى الدوران سيعملان في اتجاهين متعاكسين. يعتمد ما سيحدث على أين من القوتين ستهيمن.
    1. إذا كانت الكرة تدور بسرعة أكبر بكثير مما كانت تتحرك، فإن قوى الدوران ستهيمن. تهبط قيمة السرعة الزاوية للكرة بعد الاصطدام، لكن تزداد قيمة السرعة الأفقية. سيتم دفع الكرة للأمام ولكنها لن تتجاوز ارتفاعها الأصلي، وستظل تدور في نفس الاتجاه.
    2. إذا كانت الكرة تتحرك بسرعة أكبر بكثير مما كانت تدور به، فإن قوى الاحتكاك ستهيمن. يتم زيادة السرعة الزاوية للكرة بعد التصادم، لكن تنخفض سرعتها الأفقية. لن تتجاوز الكرة ارتفاعها الأصلي وستظل تدور في نفس الاتجاه.[31]

إذا كان السطح يميل بمقدار معين θ، فسيتم تدوير المخطط بأكمله بقيمة θ، لكن مع بقاء تأثير قوة الجاذبية إلى أسفل (تشكل زاوية θ مع السطح). عندها يكون للجاذبية عنصر موازٍ للسطح، مما يساهم في الاحتكاك، وبالتالي يساهم في الدوران. في رياضات المضرب مثل تنس الطاولة أو كرة المضرب، يستخدم اللاعبون الماهرون الدوران (بما في ذلك الدوران الجانبي) في تغيير اتجاه الكرة فجأة عند اصطدامها بسطح ما سواء كان ذلك السطح أرض أو مضرب الخصم.

كرات غير كرويةعدل

 
القوى المؤثرة على كرة القدم الأمريكية أو كرة الرجبي هي قوة الجاذبية والقوة العمودية وقوة الاحتكاك. عادة ما يكون للاحتكاك عنصر "طولاني" بسبب سرعة الكرة ودورانها والقوى الجانبية بسبب الدوران "المحوري" للكرة الناجم عن الرمية.

لا يمكن أن يتم التنبؤ بارتداد الكرة ذات الشكل البيضاوي (مثل تلك المستخدمة في كرة القدم الأمريكية أو كرة الرجبي) بنفس القابلية التي يمكن أن نتنبأ بها من ارتداد الكرة الكروية. اعتمادا على محاذاة الكرة عند الاصطدام، يمكن للقوة العمودية أن تتحرك للأمام أو خلف مركز كتلة الكرة، بينما تعتمد قوى الاحتكاك على محاذاة الكرة وكذلك دورانها وسرعة الاصطدام.[34]

كرات مكدسة متعددةعدل

  ملف خارجي

توجد بعض النظريات الشعبية التي تذكر الكرات متعددة التكديس. على سبيل المثال، إذا تم وضع كرة تنس أعلى كرة سلة وتم اسقاطهم في نفس الوقت، فإن كرة التنس سترتد أعلى بكثير إذا كانت وقعت بمفردها.[35][36] كانت النتيجة مفاجئة للبعض لرؤيتهم أنها تخترق قانون حفظ الطاقة.[37] لكن بعد الفحص الدقيق نرى أن كرة السلة لا ترتد عالية بنفس الارتفاع عند وضع كرة التنس فوقها وبذلك نرى أن بعض من طاقتها قد انتقلت إلى كرة التنس.[35]

يتضمن التفسير المعتاد دراسة تأثيرين منفصلين: كرة السلة عند اصطدامها بالأرض ثم كرة السلة واصطدامها مع كرة التنس.[35][36] عند افتراض حدوث تصادم مرن تماما، فإن كرة السلة التي تصطدم بالأرض بسرعة 1 م/ ثانية سترتد بسرعة 1 م/ ثانية. بينما تصطدم كرة التنس بسرعة 1 م/ ثانية وترتد بسرعة 2 م/ ثانية بالنسبة لكرة السلة أو 3 م/ ثانية بالنسبة للأرض. هذا يعني أن الكرة سترتد تقريبا إلى 9 أضعاف ارتفاعها الأصلي.[note 2] في الحياة الواقعية، في التصادمات غير المرنة، ستزيد كرة التنس من سرعتها وتردد بمعامل ارتداد أصغر لكنها ترتد بشكل اسرع وأعلى مما كانت عليه بمفردها.[36]

في حين أن افتراضات التأثيرات المنفصلة غير صالحة في الواقع (تظل الكرات على اتصال وثيق مع بعضها البعض خلال معظم التأثير) إلا أنه غالبا ما يستخدم لفهم الظواهر الأكثر تعقيدًا مثل الانهيار الجوهري للنجوم الفائقة،[36] أو مناورات مقلاع الجاذبية.[35][38]

اللوائح الرياضيةعدل

تنظم العديد من هيئات إدارة الألعاب الرياضية قواعد استخدام فيزياء الكرة النطاطة بطرق مختلفة، بعضها مباشر وبعضها غير مباشر. من بين تلك الهيئات:[39][40]

انظر أيضاعدل

ملاحظاتعدل

  1. ^ Here, v and u are not just the مقدار of velocities, but include also their direction (sign).
  2. ^ Since conservation of mechanical energy implies  , then  .
  3. أ ب ت Calculated using   and (if applicable) the diameter of the ball. The calculation assumes air resistance is negligible.

المصادرعدل

  1. ^ Whittington, E. M., المحرر (2001). The Sport of Life and Death: The Mesoamerican Ballgame. Thames & Hudson. ISBN 0-500-05108-9. مؤرشف من الأصل في 17 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. أ ب Brancazio, P. J. (1985). "Trajectory of a fly ball". The Physics Teacher. 23 (1): 20. Bibcode:1985PhTea..23...20B. doi:10.1119/1.2341702. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ Walker, J. (2014). Fundamentals of Physics (الطبعة 10th Extended). جون وايلي وأولاده [الفرنسية]. Figure 4-8, p. 70. ISBN 978-1-118-23072-5. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. أ ب Bush, J. W. M. (2013). "The aerodynamics of the beautiful game" (PDF). In Clanet, C. (المحرر). Sports Physics. Les Éditions de l'École Polytechnique. صفحة 171. hdl:1721.1/87576. ISBN 978-2-7302-1615-9. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  5. ^ Hirt, C.; Claessens, S.; Fecher, T.; Kuhn, M.; Pail, R.; Rexer, M. (2013). "New ultrahigh-resolution picture of Earth's gravity field". Geophysical Research Letters. 40 (16): 4279–4283. Bibcode:2013GeoRL..40.4279H. doi:10.1002/grl.50838. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  6. أ ب Nave, R. "Trajectories". HyperPhysics. مؤرشف من الأصل في 18 يوليو 2019. اطلع عليه بتاريخ 27 يناير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  7. ^ "Dry air properties". The Engineering Toolbox. مؤرشف من الأصل في 9 أبريل 2019. اطلع عليه بتاريخ 11 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  8. ^ Southard, J. (Fall 2006). "Chapter 3: Flow past a sphere II: Stoke's law, the Bernoulli equation, turbulence, boundary layers, flow separation" (PDF). Special Topics: An Introduction to Fluid Motions, Sediment Transport, and Current-generated Sedimentary Structures. معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحات 35–82. مؤرشف من الأصل (PDF) في 05 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  9. ^ "Drag of a sphere". ناسا. مؤرشف من الأصل في 28 مايو 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  10. ^ Metha, R. D. (2008). "Sports ball aerodynamics". In Nørstrud, H. (المحرر). Sport Aerodynamics. Springer (publisher). doi:10.1007/978-3-211-89297-8_12. ISBN 978-3-211-89296-1. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  11. ^ "Ideal lift of a spinning ball". ناسا. مؤرشف من الأصل في 4 سبتمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 02 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  12. ^ Nathan, A. M. (2008). "The effect of spin on the flight of a baseball" (PDF). American Journal of Physics. 76 (2): 119. arXiv:physics/0605041. Bibcode:2008AmJPh..76..119N. doi:10.1119/1.2805242. مؤرشف من الأصل (PDF) في 26 مايو 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  13. ^ Kim, J.; Park, H.; Choi, H.; Yoo, J. Y. (2011). "Inverse Magnus effect on a rotating sphere" (PDF). 64th Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics. American Physical Society. Bibcode:2011APS..DFD.A7008K. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  14. ^ "Magnus effect". HumanKinetics.com. مؤرشف من الأصل في 28 ديسمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 27 يناير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  15. ^ DeForest, C. (1997). "Why are golf balls dimpled?". The Original Usenet Physics FAQ. مؤرشف من الأصل في 24 أكتوبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 27 يناير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  16. ^ Clanet, C. (2015). "Sports ballistics" (PDF). Annual Review of Fluid Mechanics. 47: 455. Bibcode:2015AnRFM..47..455C. doi:10.1146/annurev-fluid-010313-141255. مؤرشف من الأصل (PDF) في 29 مارس 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  17. ^ "Inzamam charged by ICC". الغارديان. 21 August 2006. مؤرشف من الأصل في 18 نوفمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 28 يناير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  18. ^ Okrent, D.; Wulf, S. (1989). Baseball anecdotes. Oxford University Press. صفحة 89. ISBN 978-0-19-504396-9. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  19. أ ب Post, S. (2010). Applied and computational fluid mechanics. Jones and Bartlett Publishers. صفحات 280–282. ISBN 978-1-934015-47-6. مؤرشف من الأصل في 17 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  20. أ ب Cross, R. (1999). "The bounce of a ball" (PDF). American Journal of Physics. 67 (3): 222. Bibcode:1999AmJPh..67..222C. doi:10.1119/1.19229. مؤرشف من الأصل (PDF) في 23 ديسمبر 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  21. أ ب ت ث ج ح خ Georgallas, A.; Landry, G. (2016). "The coefficient of restitution of pressurized balls: A mechanistic model". Canadian Journal of Physics. 94 (1): 42. Bibcode:2016CaJPh..94...42G. doi:10.1139/cjp-2015-0378. مؤرشف من الأصل في 5 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  22. ^ "Coefficient of restitution". RacquetResearch.com. مؤرشف من الأصل في 23 نوفمبر 2016. اطلع عليه بتاريخ 27 يناير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  23. ^ Cross, R.; Nathan, A. M. (2006). "Scattering of a baseball by a bat". American Journal of Physics. 74 (10): 896–904. arXiv:physics/0605040. Bibcode:2006AmJPh..74..896C. doi:10.1119/1.2209246. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  24. أ ب Haron, A.; Ismail, K. A. (2012). "Coefficient of restitution of sports balls: A normal drop test". IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 36 (1): 012038. Bibcode:2012MS&E...36a2038H. doi:10.1088/1757-899X/36/1/012038. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  25. أ ب Cross, R. (2000). "The coefficient of restitution for collisions of happy balls, unhappy balls, and tennis balls" (PDF). American Journal of Physics. 68 (11): 1025. Bibcode:2000AmJPh..68.1025C. doi:10.1119/1.1285945. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 ديسمبر 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  26. ^ Cross, R. (2002). "Grip-slip behavior of a bouncing ball" (PDF). American Journal of Physics. 70 (11): 1093. Bibcode:2002AmJPh..70.1093C. doi:10.1119/1.1507792. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 ديسمبر 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  27. أ ب Zhang, X.; Vu-Quoc, L. (2002). "Modeling the dependence of the coefficient of restitution on the impact velocity in elasto-plastic collisions". International Journal of Impact Engineering. 27 (3): 317–341. doi:10.1016/S0734-743X(01)00052-5. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  28. ^ Hesser-Knoll, M. (2014). "Ball spin during bounce". The Physics of Tennis. University of Alaska Fairbanks. مؤرشف من الأصل في 2 يناير 2019. اطلع عليه بتاريخ 01 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  29. ^ Lindsey, C. (April 2004). "Follow the bouncing ball". Tennis Industry. مؤرشف من الأصل في 20 نوفمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 01 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  30. ^ Allen, T.; Haake, S.; Goodwill, S. (2010). "Effect of friction on tennis ball impacts". Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part P. 224 (3): 229–236. doi:10.1243/17543371JSET66. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  31. أ ب ت Cross, R. (2005). "Bounce of a spinning ball near normal incidence" (PDF). American Journal of Physics. 73 (10): 914–920. Bibcode:2005AmJPh..73..914C. doi:10.1119/1.2008299. مؤرشف من الأصل (PDF) في 21 سبتمبر 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  32. ^ Allen, T. (2012). "The ball's in your court" (PDF). ANSYS Advantage (Web exclusive). مؤرشف من الأصل (PDF) في 05 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  33. ^ Jafri, S. M. M. (2004). Modeling of impact dynamics of a tennis ball with a flat surface (PDF) (Thesis). Texas A&M University. hdl:1969.1/2441. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 سبتمبر 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  34. ^ Cross, R. (2011). "Bounce of an oval shaped football" (PDF). Sports Technology. 3 (3): 168. doi:10.1080/19346182.2011.564283. مؤرشف من الأصل (PDF) في 24 مارس 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  35. أ ب ت ث Huebner, J. S.; Smith, T. L. (1992). "Multi-ball collisions". The Physics Teacher. 30 (1): 46. Bibcode:1992PhTea..30...46H. doi:10.1119/1.2343467. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  36. أ ب ت ث Cross, R. (2007). "Vertical bounce of two vertically aligned balls" (PDF). American Journal of Physics. 75 (11): 1009. Bibcode:2007AmJPh..75.1009C. doi:10.1119/1.2772286. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 مارس 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  37. ^ Harter, W. G. (1971). "Velocity amplification in collision experiments involving superballs" (PDF). American Journal of Physics. 39 (6): 656. Bibcode:1971AmJPh..39..656H. doi:10.1119/1.1986253. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 نوفمبر 2016. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  38. ^ Nave, R. "Double ball drop". هايبرفيزيكس. مؤرشف من الأصل في 5 يونيو 2019. اطلع عليه بتاريخ 28 يناير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  39. ^ "Evolution of the ball" . Baseball Digest: 67. July 1963. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  40. ^ Sowell, T. (2011). "Dead ball vs lively ball". The Thomas Sowell Reader. بيزيك بوكس  [لغات أخرى]. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  41. ^ Laws of Australian Football 2017 (PDF). AFL. 2017. صفحة 15. مؤرشف من الأصل (PDF) في 5 مارس 2019. اطلع عليه بتاريخ 19 يناير 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  42. ^ Official Basketball Rules 2014 Basketball Equipment (PDF). الاتحاد الدولي لكرة السلة. 2014. صفحة 12. مؤرشف من الأصل (PDF) في 15 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  43. ^ Laws of the Game: 2014–15 (PDF). الاتحاد الدولي لكرة القدم. 2014. صفحة 15. مؤرشف من الأصل (PDF) في 15 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  44. ^ Official Volleyball Rules: 2017–2020 (PDF). الاتحاد الدولي للكرة الطائرة. 2016. صفحة 16. مؤرشف من الأصل (PDF) في 12 أبريل 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  45. ^ Official Beach Volleyball Rules: 2017–2020 (PDF). الاتحاد الدولي للكرة الطائرة. 2017. صفحة 15. مؤرشف من الأصل (PDF) في 27 أغسطس 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  46. ^ ITF Approved Tennis Balls, Classified Surfaces & Recognized Courts (PDF). ITF. 2016. صفحات 4–5. مؤرشف من الأصل (PDF) في 26 فبراير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  47. ^ The International Table Tennis Federation Handbook (PDF). ITTF. 2017. صفحة 24. مؤرشف من الأصل (PDF) في 24 أبريل 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  48. ^ Official Rules of the National Basketball Association: 2013–2014 (PDF). إن بي أي. 2013. صفحة 10. مؤرشف من الأصل (PDF) في 20 مارس 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  49. ^ Botelho, G.; Castillo, M. (11 May 2015). "'Deflategate:' 4-game suspension for Tom Brady". سي إن إن. مؤرشف من الأصل في 19 مايو 2017. اطلع عليه بتاريخ 27 يناير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  50. ^ Well, Jr., T. V.; Karp, B. S.; Reisner, L. L. (2015). Investigative Report Concerning Footballs Used During the AFC Championship Game on January 18, 2015 (PDF). Paul, Weiss, Rifkind, Wharton & Garrison LLP. مؤرشف من الأصل (PDF) في 7 نوفمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  51. ^ Official Playing Rules of the National Football League (PDF). الدوري الوطني لكرة القدم الأمريكية. 2016. صفحة 3. مؤرشف من الأصل (PDF) في 18 سبتمبر 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  52. ^ Rubenstein, L. (11 May 2002). "Getting to COR of game, finally". The Globe and Mail. مؤرشف من الأصل في 17 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 27 يناير 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

لمزيد من القراءةعدل

وصلات خارجيةعدل