عدد توافقي

في الرياضيات ، العدد التوافقي النوني هو مجموع مقلوبات أول n من الأعداد الطبيعية :

العدد التوافقي $H_{n}$ مع $n=\lfloor x\rfloor$ (الخط الأحمر) بحده المقارب $\gamma +\ln(x)$ (الخط الأزرق) بحيث $\gamma$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

$$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$$

بدءًا من n = 1 ، يبدأ تسلسل الأعداد التوافقية:

$$1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots$$

ترتبط الأعداد التوافقية بالمتوسط التوافقي في أن العدد التوافقي النوني هو أيضًا n مضروبة في مقلوب المتوسط التوافقي للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n .

تمت دراسة الأعداد التوافقية منذ العصور القديمة وهي مهمة في مختلف فروع نظرية الأعداد . يطلق عليها أحيانًا اسم متسلسلة توافقية ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة ريمان زيتا ، وتظهر في تعبيرات دوال خاصة مختلفة.

يمكن إعطاء قيمة تقريبية للعدد التوافقي النوني من خلال دالة اللوغاريتم الطبيعي وبالتالي فإن المتسلسلة التوافقية المصاحبة تنمو بلا حدود ، وإن كان ذلك ببطء. في عام 1737 ، استخدم ليونارد أويلر تباعد المتسلسلة التوافقية لتقديم برهان جديد على لانهاية الأعداد الأولية . امتد عمله إلى المستوى المعقد بواسطة برنارد ريمان في عام 1859 ، مما أدى مباشرة إلى فرضية ريمان الشهيرة حول توزيع الأعداد الأولية .

من خلال مسلمة برتراند يمكن إستنتاج أن ، باستثناء الحالة n = 1 ، فإن الأعداد التوافقية ليست أعدادًا صحيحة أبدًا.

خصائص الأعداد التوافقية

من خلال تعريها ، فإن الأعداد التوافقية تستوفي العلاقة

$$H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}$$

ترتبط الأعداد التوافقية بأعداد ستيرلنغ من النوع الأول من خلال العلاقة

$$H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right]$$

الدوال التالية

$$f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}(\log x-H_{n})$$

تستوفي الخاصية

$$f_{n}'(x)=f_{n-1}(x)$$

خاصه

$$f_{1}(x)=x(\log x-1)$$

هو تكامل دالة اللوغاريثم الطبيعي.

الأعداد التوافقية تحقق متطابقات المتسلسلة

$$\sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n$$

و

$$\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n$$

خصائص مرتبطة ب π

هناك العديد من صيغ الجمع اللانهائية التي تتضمن الأعداد توافقية و π :  

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}={\frac {1}{12}}\pi ^{2}$$

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{360}}\pi ^{4}$$

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}$$

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}$$

الحساب

هناك تمثيل تكاملي قدمه أويلر هو

$$H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx$$

الصيغة أعلاه يمكن إشتقاقها من خلال المطابقة الجبرية البسيطة

$${\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}$$

باستخدام التعويض x = 1 − u ، هناك تعبير آخر لـ H_n هو

$${\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}$$

مراجع

• 978-0-201-89683-1
• إد سانديفر ، كيف فعل أويلر - تقدير مشكلة بازل (2003)