ظل (دالة)

أحد الدوال المثلثية الرئيسية، وهو النسبة بين الجيب وجيب التمام لنفس الزاوية، أي قسمة طول الضلع المقابل على الضلع المجاور لنفس الزاوية


ظل الزاوية (بالإنجليزية: Tangent of an angle)‏ هو أحد الدوال المثلثية الأساسية والذي يرمز له بـ tan أو tg باللاتينية أو ظا بالعربية،[1][2] ويُعرف بأنه النسبة بين الجيب وجيب التمام لنفس الزاوية، أي قسمة طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم.

الظل
تمثيل دالة الظل في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
تمثيل دالة الظل في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
ترميز أو ظا (س) أو ظل (س)
تعريف الدالة tan A = الضلع المقابل لزاوية في مثلث قائم/الضلع المجاور لنفس الزاوية
دالة عكسية
مشتق الدالة
مشتق عكسي
(تكامل)
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟ فردية
مجال الدالة
المجال المقابل
دورة الدالة π
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر 0
القيمة/النهاية عند 
  • على اليمين:
  • على اليسار:
خطوط مقاربة
جذور الدالة
ملاحظات

Sinxoverx.svg

إذا نظرنا إلى الصورة أعلاه (وهي صورة لدائرة واحدية)، نرى أن المثلثات OAB و OCD مماثلة،

لذلك يكون تعريف ظل الزاوية x :

وكذلك :

بالتالي يكون:

الذي ينطوي على العلاقة الأساسية بين الظل و الجيب sin x و جيب التمام cos x العلاقة :

أصل التسميةعدل

طالع دوال مثلثية

حساب الظلعدل

حساب الظل في مثلث قائم:

ظل الزاوية = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور

كما أن :

ظل الزاوية ب = جيب الزاوية ب/جيب تمام الزاوية ب

 

مثال :

  • طول المقابل [أج] = 15 سنتيمتر
  • طول المجاور [أب] = 5 سنتيمتر

فيكون ظل الزاوية ب : المقابل [أج]/المجاور [أب] = 15/5 = 3

بعض الزوايا الشهيرةعدل

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

طبقا للمعادلة أعلاه يكون :

 

أي أن:

 

ومنها ينتج أرتفاع ناطحة السحاب AB :

متر  

ولانحتاج لقياس ناطحة السحاب للصعود والنزول وقياسها بالمتر في يدنا، بل يكفي معرفة قانون ظل الزاوية وبعض الأبعاد السهلة التعيين لتعيين ارتفاع ناطحة السحاب .

دالة ظل الزاويةعدل

 
صورة متحركة لرسم منحنى دالة الظل باستخدام دائرة الوحدة.

خصائصهاعدل

دالة الظل هي دالة حقيقية:

  • دورية، دورتها  .

 

  • فردية، حيث:  
  • تقبل خطوط مقاربة عمودية عند القيم   من أجل كل عدد صحيح k.
     
     
  • مشتقها :  
  • مشتقها العكسي:   وهو يكافئ الصيغة:   حيث   هي دالة القاطع.
  • بتطبيق صيغة أويلر:
 

حيث   هي الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي  .

 

متسلسلةعدل

يمكن التعبير عن ظل الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة متسلسلة تايلور التالية:

 

حيث   هو عدد بيرنولي و   هو عدد Up/down.

حساب القيمعدل

تحسب قيم الدالة بواسطة المتسلسلة، ولكن بدلاً من استخدام النشر المحدود بواسطة متسلسلة تايلور، التي تستخدم العديد من العمليات، يحبذ استعمال خوارزمية CORDIC.

اقرأ أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ "كيف أحسب tan الزاويه؟". أجيب. مؤرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 22 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ "5 معلومات عن حساب زوايا المثلث". إيد أرابيا. 2018-10-15. مؤرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 22 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)