قوس الجيب

في الرياضيات، دالة قوس الجيب (بالإنجليزية: Arcsine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة الجيب، مستقرها هو $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$، وحدتها هي الراديان.

دالة قوس الجيب
التمثيل البياني للدالة التمثيل البياني للدالة
تدوين	$\arcsin x$
دالة عكسية	$\sin x$ على المجال $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
مشتق الدالة	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
مشتق عكسي (تكامل)	$x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	$[-1,1]$
المجال المقابل	$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
الحدود الأعلى	1
الحدود الأدنى	-1
القيمة/النهاية عند 1	${\frac {\pi }{2}}$
القيمة/النهاية عند -1	$-{\frac {\pi }{2}}$
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	0

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب الخاص به يرمز لها بـ arcsin أو sin ^-1. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الجيب المثلثية المقتصرة إلى المجال $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد الوَحْديّ للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الجيب المقتصرة إلى المجال $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x.

مشتق

دالة الجيب العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:

$\arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:$(\arcsin x)'={d \over dx}\arcsin x$

نضع $\theta =\arcsin x$:

${\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{d\theta \cos \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

إذا كانت $|z|\leq 1$،

${\begin{aligned}\arcsin z&=z+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {z^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {z^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}$

حيث $(n)!!$ هو عاملي ثنائي.

برهان

متسلسلة تايلور للدالة المستقة هي:

${\begin{aligned}\arcsin '(z)&=(1-z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-z^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-z^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-z^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}z^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}z^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}z^{6}+\dots ,\end{aligned}}$

بمكاملتها نتحصل على المتسلسلة غير المنتهية للدالة.

الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل غير المحدد :

 $\arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt$

المشتق العكسي

arccos x (بالأزرق) و arcsin x (بالأحمر)

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة :

$\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

من أجل كل عدد حقيقي x محصور بين –1 و 1 : $\arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}$

على المستوي المركب

التمثيل البياني اللوني للدالة $\arcsin z$

الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الجيب باستخدام اللوغاريتم العقدي:

$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$

طالع أيضًا

• دوال مثلثية عكسية
• دالة جيب التمام العكسية
• دالة الظل العكسية